3.3. Понятие странного аттрактора.

Странный аттрактор обладает следующими свойствами:

1) он является аттрактором, т.е. занимает ограниченную область фазового пространства {x}, к которой по истечении большого интервала времени притягиваются все достаточно близкие траектории из так называемой области притяжения. Сам аттрактор состоит как бы из одной траектории, т.е. траектория с течением времени должна пройти через каждую точку аттрактора;

2) чувствителен к начальным условиям, т.е., несмотря на сжатие в объеме, не происходит сокращения длин во всех направлениях и расстояния между первоначально сколь угодно близкими точками на аттракторе через достаточно большое время становятся конечными;

3) аттрактор должен быть структурно устойчивым и типичным, т.е. малые изменения параметра в F (x = F(x)) изменяют структуру аттрактора непрерывным образом и множество параметров, для которых x = F(x) порождает странный аттрактор, не должно быть множеством меры 0.

Все обнаруженные к настоящему времени странные аттракторы имеют дробную хаусдорфову размерность, при чем по теореме Пуанкаре-Бендикссона размерность порожденных потоками странных аттракторов больше двух. Понятие странного аттрактора не ограниченно диссипативными потоками (x = F(x)): диссипативные отображения (x(n + 1) = G[x(n)]; x(n) = [x₁(n), ..., x_d(n)) также могут порождать странные аттракторы, при чем теорема Пуанкаре-Бендикссона несправедлива для отображений, т.к. отображения порождают дискретные точки и снимаются ограничения, связанные с непрерывностью.

Странный аттрактор можно наблюдать в случае диссипативного отображения Хенона - это двумерный аналог логистического отображения:

x_n+1= 1 - ax_n²+ y_n(14)

y_n+1= bx_n, |b| < 1

или упрощенный одномерный вариант:

x_n+1= 1 - ax_n²+ bx_n-1, |b| < 1 (15)

Одним из важнейших понятий для понимания происхождения странного аттрактора является понятие бифуркаций Хопфа. Простой бифуркацией Хопфа соответствует рождение предельного цикла из неподвижной точки.Биффуркация Хопфа вводит в систему новую основную частоту. Рюэль и Такенс показали, что после двух бифуркаций Хопфа регулярное движение может стать сильно неустойчивым и перейти в хаотическое движение на странном аттракторе. При этом подразумевается, что хаотическое движение становится возможным только после двух бифуркаций Хопфа, когда траектория может выходить в дополнительные измерения, так как двухпериодическое движение соответствует траектории на торе, на котором появление хаоса запрещается теоремой Пуанкаре-Бендикссона. Однако после двух бифуркаций Хопфа появление странного аттрактора не только возможно, но и неизбежно.