Яковлев В.Л., Яковлева Г.Л., Лисицкий Л.А.*

Московский Государственный Технический Университет им.Н.Э.Баумана,

* Саратовский Государственный Технический Университет

Создание математических моделей прогнозирования тенденций финансовых рынков, реализуемых при помощи нейросетевых алгоритмов.

Данная статья посвящена описанию применения моделей, полученных в рамках теории детерминированного хаоса, к прогнозированию тенденций финансовых рынков. Данные модели являются нелинейными функциями, и задача аппроксимации ими искомой зависимости прогнозируемой величины от некоторого набора критериев может быть успешно решена с помощью различных нейросетевых алгоритмов.

Введение

В под финансовыми рынками в данной статье подразумеваются рынок купонных и бескупонных облигаций, рынок акций (фондовый рынок) и валютный рынок. На сегодняшний день это наиболее развитые в нашей стране рынки, на которых работают банки. Любой человек, хоть в слабой мере соприкасающийся с финансовыми рынками, пытается предугадать их поведение хотя бы на самое ближайшее время. Естественно предположить, что существуют некие математические модели, способные наилучшим образом хотя бы в течении некоторого ограниченного периода времени, описывать ситуацию на рынке. Некоторые предложения по созданию таких моделей описаны в этой статье. В качестве платформы для их создания использовалась теория детерминированного хаоса.

1. Постановка и описание задачи прогнозирования тенденций финансовых рынков.

Данный вопрос достаточно полно раскрыт нами в [8]. Но т.к. без общего описания задачи смысл статьи теряется, далее кратко описывается путь, приведший к проблеме создания математических моделей.

Интуитивно понятно, что любой прогноз должен основываться на выявлении некоторых закономерностей в прошлом и применении их к анализу настоящей ситуации. Поэтому необходимо перед началом проведения прогноза выявить какие критерии (это могут быть макро- и микроэкономические данные, торговые данные, оценки общественно-политических событий) оказывали влияние на прогнозируемую величину (возможными прогнозируемыми величинами для данной системы являются доходность и ценовые показатели), т.е. определить прогнозируемую величину и набор критериев прогноза. Хотя существуют методы, позволяющие установить насколько данный критерий влияет на прогнозируемую величину (например вычислить корреляцию), все-таки качество выбора критериев прогноза в основном зависит от опыта и интуиции аналитика. Финансовые рынки являются динамичной, развивающейся системой, поэтому критерий оказывающий влияние на некоторую прогнозируемую величину два месяца назад, совершенно не работает сегодня. Следовательно, нет смысла во-первых формировать большие выборки для проведения прогноза, во-вторых включать в число критериев те данные, которые не оказывали влияние на интересующую величину или не изменяли свое значение в течении периода формирования выборки. Т.о. по окончании данного подготовительного этапа имеются некоторые временные ряды прогнозируемой величины и критериев прогноза, а необходимо по имеющимся критериям на некоторый будущий момент времени определить значение прогнозируемой величины.

В нашей статье [8] проиллюстрировано, что в общем случае зависимость прогнозируемой величины от критериев для данной предметной области достаточно линейна, поэтому имеет смысл на первом этапе прогноза вычислить эту линейную составляющую. Т.е. вектор-столбец прогнозируемой величины Y можно представить как:

Y = Y_лин+ Y_нелин, (1)

где линейную составляющую можно представить как

Y_лин= Xa`, (2)

где X - матрица критериев прогноза, X = ||x_ij||, (j = 1..., m), (i = 1..., n), где m - количество критериев, x_ij- значение j-го критерия на i-ый момент времени (n >= m), a` - параметры линейной функции. Линейная составляющая может быть вычислена методом наименьших квадратов либо путем прямого решения матричного уравнения

a` = (X^TX)^-1X^TY, (3)

либо одним из методов безусловной минимизации.

Т.о. следующей задачей становится аппроксимация оставшейся нелинейной составляющей некоторой нелинейной функцией

Y_нелин= F_нелин(X, a``) + E_{погрешность}, (4)

где a`` - искомые параметры нелинейной функции.

Не трудно заметить, что качество аппроксимации нелинейной составляющей зависит от качества нахождения параметров a`` и способности F_нелинаппроксимировать данную зависимость. В данной статье не рассматривается задача нахождения параметров нелинейной функции (она слегка затрагивалась в [8]), далее статья будет посвящена проблеме построения моделей, представляющих нелинейную функцию.

В системе "Аналитик" нами реализовано два пути формирования аппроксимирующей нелинейной функции: построение нейронной сети, где нелинейными преобразователями реализуются некоторые непрерывные, везде дифференцируемые, ограниченные функции (например, сигмоидные или одна из функций, представленная в [8]) и построение нейронной сети, реализующую некоторую модель, созданную в рамках теории детерминированного хаоса. Т.о. предоставляется возможность сравнить результаты работы полученных моделей с аналогичными по сложности моделями, построенными на основе традиционно применяющихся в нелинейных преобразователях функциях.

Функции, традиционно применяющиеся в нелинейных преобразователях, считаются достаточно хорошими для аппроксимации фактически любой нелинейной зависимости. Так исследования, приведенные в [6], показали, что функция

y_t=1/(1+EXP(1/[1+EXP(- a``<sub>1</sub>*y<sub>t-1</sub>))]+1/[1+EXP(-(a``₂*y_t-1))])) (5)

(т.е. нейронная сеть 1-2-1 с сигмоидным нелинейным преобразователем) реализует функцию

y_t=1-c₁y_t-1+c₂y_t-1² (6)

с точностью не ниже 5%. Указанная функция (6) получена при изучении некоторых хаотических систем, данное исследование показывает, что два пути решения задачи взаимозаменяемы, встает только вопрос о разнице в погрешностях.