Типовой отчет.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордано-Гаусса:

Реализован следующий порядок итераций:

Расширенная матрица
5	1	-2	9
4	1	1	5
-2	0	4	-6
1-ая итерация
1	0.2	-0.4	1.8
0	0.2	2.6	-2.2
0	0.4	3.2	-2.4
2-ая итерация
1	0	-3	4
0	1	13	-11
0	0	-2	2
3-я итерация
1	0	0	1
0	1	0	2
0	0	1	-1

Решение: х₁ = 1, х₁ = 2, х₁ = -1.

Обратная матрица
-2	2	-1.5
9	-8	6.5
-1	1	-0.5
Решение
х1 =	1
х2 =	2
х3 =	-1

Варианты.

Методом Жордано-Гаусса решить системы линейных алгебраических уравнений :

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.

Вид рабочего листа MS Exsel

Лабораторная работа № 4

"Метод итераций решения систем линейных

алгебраических уравнений"

Элементы теории.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

. (1)

Если все диагональные элементы a_ii  0 , i = 1, 2, …, n , то систему можно представить в приведенном виде:

(2)

где (3)

Введем обозначения:

, , (4)

и перепишем приведенную систему в матричной форме:

. (5)

Итерационный алгоритм реализуется следующим образом:

(6)

Если существует предел последовательности векторов , то переходя к пределу в равенстве при k   , получим , то есть является корнем приведенного матричного уравнения. Достаточные условия сходимости итераций приведены в теореме.

Теорема. Если норма матрицы , то уравнение имеет единственное решение , к которому стремится последовательность итераций при любом выборе начального приближения

В расчетах полагают, что . Погрешность приближенного решения уравнения на k-ом шаге оценивается неравенством:

. (7)

Отклонение приближения от решения по норме не будет превышать , если:

(8)

Последнее неравенство позволяет оценить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности:

(9)

Условие, позволяющее принять приближение в качестве решения с точностью , можно представлять в следующей, удобной для вычислительного процесса форме:

.

Для оценки погрешности текущего приближения используется неравенство (8) в виде:

(10)

Данные неравенства обычно дают завышенную оценку числа итераций и достигнутой точности. В данных оценках необходимо использовать согласованные нормы для матриц и векторов. Будем использовать следующие нормы. Для вектора :

m-норма , (11)

l-норма , (12)

k-норма . (13)

Для матрицы :

m-норма , (14)

l-норма , (15)

k-норма . (16)