Лабораторная работа № 2 "Вычисление норм векторов, матриц и функций" Элементы теории

Определение. Множество L, состоящее из элементов x, y, z, …, называется линейным пространством, если на этом множестве определены две операции – сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие действительное число, называемое нормой элемента и обозначаемое , причем выполняются следующие аксиомы:

1) ,

;

2) ;

3) .

Определение. Расстояние d(x,y) между элементами х и у линейного нормированного пространства определяется как норма разности этих элементов:

.

Упорядоченная совокупность n действительных чисел х₁ , х₂ , … , х_n называется n-мерным вектором , а числа х₁ , х₂ , … , х_n – его координатами.

Суммой двух n-мерных векторов и называется n-мерный вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат x_k + y_k , k = 1, 2, … , n векторов и .

Произведением n-мерного вектора на число  называется n-мерный вектор , координаты которого получаются из координат вектора умножением на число  .

Будем записывать вектор в виде:

.

На векторах линейного пространства R ⁿ можно, в частности, определить следующие нормы (и соответственно три линейные нормированные пространства):

1) - m-норма или кубическая норма;

2) - l-норма или октаэдрическая норма;

3) - k-норма или сферическая норма.

Определение. Прямоугольная таблица чисел из n строк и m столбцов называется матрицей размера n на m.

Будем обозначать матрицу следующим образом:

.

Числа a_ij , i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, … , m называются элементами матрицы. Нижние индексы i и j элемента a_ij указывают номера строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент в таблице. Матрица А называется квадратной порядка n, если n = m.

Матрицы одного размера образуют линейное пространство, если для любой пары матриц A = ( a_ij ) и B = ( b_ij ) определена матрица суммы А+В, составленная из элементов ( a_ij + b_ij ), а умножение матрицы на число определено, как умножение каждого элемента матрицы на это число.

Для матрицы определены следующие три нормы:

- m-норма;

- l-норма;

- k-норма.

При m = 1 матрица А представляет собой n-мерный вектор. Ранее введенные нормы для векторов совпадают с нормами, определенными в частном случае для матриц размера n1.

В каждой точке некоторой области пространства Rⁿ могут быть определены n функций, непрерывных вместе со своими частными производными. Тогда в каждой точке можно определить функциональную матрицу порядка n.

Определение. Матрицей Якоби системы функций ( f₁(x₁ , x₂ , … x_n ), f₂(x₁ , x₂ , … x_n ), … , f_n(x₁ , x₂ , … x_n )) называется функциональная квадратная матрица порядка n следующего вида:

.

Нормы матрицы Якоби в точке вычисляются по формулам:

- m-норма;

- l-норма;

- k-норма.

Можно показать, что множество непрерывных функций на отрезке [a, b] относительно операций сложения x(t)+y(t) и умножения на число  x(t) образует линейное пространство С_{[a, b]} , t  [a, b],   R,x(t), y(t)  С_{[a, b]} .

Норма называется равномерной на С_{[a, b]} или С-нормой, если:

.

Норма называется квадратичной на С_{[a, b]} , если:

.

Расстояние между функциями x(t), y(t)  С_{[a, b]} по равномерной и квадратичной нормам вычисляется соответственно по формулам:

,

.