Типовой отчет.

1. Численно решить систему 2-х нелинейных уравнений методом итераций с точностью  = 0,001, сравнить приближенное решение с точным:

при x > 0, y > 0.

2. Для локализации решения построим графики функций. Для этого преобразуем уравнения системы с учетом условия x > 0, y > 0:

.

Таблица значений функций и их графики.

x	y1	y2
1.1	10.00	0.46
1.2	5.00	0.66
1.3	3.33	0.83
1.4	2.50	0.98
1.5	2.00	1.12
1.6	1.67	1.25
1.7	1.43	1.37
1.8	1.25	1.50
1.9	1.11	1.62
2.0	1.00	1.73

В качестве приближенного решения принято x₀ =1,8 и y₀ = 1,5.

3. Перепишем систему в следующем виде:

.

Вводим вспомогательные функции следующим образом:

.

4. Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (1,8; 1,5) имеет вид:

.

Обратная матрица Якоби в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (1,8; 1,5) имеет вид:

.

Матрицу корректирующих множителей в точке начального приближения имеет вид:

.

5. Итерационный алгоритм реализуется по формуле:

x_k = g₁(x_k-1 , y_k-1 ), y_k = g₂(x_k-1 , y_k-1 ), k = 1, 2, 3, …

Оценка погрешности k-го приближения производится по формуле:

,

где - вектор k-го приближения,

- вектор точного решения,

- норма вектора,

- максимальная норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в области D с центром в точке начального приближения, локализующей решение.

В качестве нормы матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

принимается m-норма:

.

6. Точность d_k = 0,000422 <  = 0,001 достигается на 3-ей итерации, значения переменных равны x₃ =1,716692 и y₃ = 1,39538.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке приближенного решения:

Матрица Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в точке приближенного решения:

m-норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

,

значит, достаточное условие достижения заданной точности выполнено.

Приближенные и точные значения переменных, а также фактическая погрешность приведены в таблице.

Переменные	Решение		Погрешность
	приближенное	точное
x	1,716692	1,716673	1,9710-5
y	1,39538	1,395337	4,2710-5

Реальная точность на порядок меньше гарантированной.

7. Рассмотрим итерационный алгоритм с начальным приближением, существенно отклоняющимся от точного решения x₀ =5,0 и y₀ = 5,0.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (5,0; 5,05) имеет вид:

.

Обратная матрица Якоби в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (5,0; 5,0) имеет вид:

.

Матрица корректирующих множителей в точке начального приближения имеет вид:

.

Точность d_k = 0,000802 <  = 0,001 достигается на 25-ой итерации, значения переменных равны x₂₅ =1,718144 и y₂₅ = 1,398233.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке приближенного решения:

Матрица Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в точке приближенного решения:

m-норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

,

значит, достаточное условие достижение заданной точности не выполнено.

Приближенные и точные значения переменных, а также фактическая погрешность приведены в таблице.

Переменные	Решение		Погрешность
	приближенное	точное
x	1,718144	1,716673	0,001471
y	1,398233	1,395337	0,002896

Таким образом заданная точность не достигнута. Для гарантированного выполнения заданной точности в качестве решения принимается та итерация, на которой выполняется условие . Это условие выполнено на 34-ой итерации, значения переменных равны x₃₄ =1,716832 и y₃₄ = 1,395658.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке приближенного решения:

Матрица Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в точке приближенного решения:

m-норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

.

и с учетом того, что на 34-ой итерации имеет место 10d_k = 000889 <  = 0,001, то гарантированная точность достигнута.

Приближенные и точные значения переменных, а также фактическая погрешность приведены в таблице.

Переменные	Решение		Погрешность
	приближенное	точное
x	1,716832	1,716673	0,000159
y	1,395658	1,395337	0,000321

Таким образом, существенное отклонение начального приближения от точного решения значительно увеличивает вычислительные затраты.

8. Решение системы должно быть представлено в виде, соответствующим заданной точности: х^* = 1,717  0,001, у^* = 1,396  0,001.