Варианты.

Найти корень заданного уравнения методом итераций с точностью  = 0,01 и  = 0,001 для двух отрезков локализации корня: с параметром q < 0,5 и q > 0,5. Для каждого из отрезков провести расчет для 3-х начальных приближений: границ и середины отрезка локализации корня. Для каждого расчета определить приближенное значение корня x^* уравнения, число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения .

1.	x4 – 3x – 20 = 0, x > 0	2.	x3 – 2x – 5 = 0, x > 0
3.	x3 + 3x + 5 = 0	4.	x4 + 5x – 7 = 0, x > 0
5.	x3 – 12x – 5 = 0, x > 0	6.	x3 – 2x2 – 4x + 5 = 0, x < 0
7.	x + e x = 0	8.	x5 - x - 2 = 0
9.	x3 – 10x + 5 = 0, x < 0	10.	2 – ln x – x = 0
11.	x3 + 2x - 7 = 0	12.	x3 + x2 – 11 = 0, x > 0
13.	x4 – 2x – 4 = 0, x > 0	14.	2e x + x – 1 = 0
15.	x4 – 2x – 4 = 0, x < 0	16.	2x3 + x2 – 4 = 0, x > 0
17.	e x – x – 2 = 0	18.	0,5e x – x – 1 = 0, x > 0
19.	x2 – cos x = 0, x > 0	20.	x2 + ln x = 0
21.	ln x + 0,5x – 1 = 0	22.	ln x - 0,5x + 1 = 0, x > 1
23.		24.	, x > 0
25.

Вид рабочего листа MS Exsel

Лабораторная работа № 7

"Метод итераций для системы нелинейных уравнений"

Элементы теории.

Систему 2-х уравнений с двумя неизвестными

(1)

будем представлять в виде

. (2)

Решением системы уравнений называется вектор , координаты которого подставленные в систему обращают ее уравнения в равенства.

Пусть установлено, что система имеет единственное решение , принадлежащее замкнутому прямоугольнику

D = { (x,y): a  x  b; c  y  d }.

Возьмем произвольную точку и, используя формулы

x_k = g₁(x_k-1 , y_k-1 ), y_k = g₂(x_k-1 , y_k-1 ), k = 1, 2, 3, … (3)

получим последовательность векторов , которая сходится к решению уравнения , если выполняются условия следующей теоремы.

Теорема. Если функции g₁(x , y) и g₂(x , y) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка в замкнутом прямоугольнике D и выполнены два условия:

1) норма матрицы Якоби J_g функций g₁(x , y) и g₂(x , y) не превосходит единицы для любого вектора ;

2) значения вектор-функции для любого вектора , то при любом выборе начального приближения процесс итераций сходится к единственному корню системы уравнений в прямоугольнике D.

Оценка погрешности k-го приближения к решению имеет вид:

,

где .

При решении методом итераций системы нелинейных уравнений областью D можно считать множество точек вблизи точки пересечения кривых, определяемых уравнениями f₁(x, y) = 0 и f₂(x, y) = 0.

Для практической оценки погрешности k-го приближения можно пользоваться неравенствами:

В качестве вспомогательных функций можно выбрать:

(4)

Система уравнений (1) равносильна системе уравнений (2) с правыми частями (4) при условии:

Для вычисления корректирующих множителей _ij будем считать, что матрица Якоби J_g равна нулю в точке . Тогда, в силу предположения о непрерывности компонент матрицы, найдется окрестность точки , где , и условия теоремы выполнены.

Будем для определенности использовать m-нормы для оценки матриц и векторов:

,

.

Равенство в m-норме означает, что матрица - нулевая, то есть:

,

что эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений:

Эта система распадается на две системы линейных алгебраических уравнений:

,

.

Вводим обозначения:

- 1-ая вектор-строка матрицы корректирующих множителей,

- 2-ая вектор-строка матрицы корректирующих множителей,

- матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y),

- вектор правых частей 1-ой системы,

- вектор правых частей 2-ой системы.

Для вектор-строк ₁ и ₂ не используется символ "", так как вектором считаем упорядоченный столбец чисел.

Тогда системы уравнений для определения корректирующих коэффициентов запишутся в виде:

Символ "т" означает транспонирование матриц.

Их решение имеет вид:

Обозначим элементы обратной матрицы Якоби следующим образом:

.

Тогда, учитывая структуру векторов и , получим следующие значения корректирующих множителей:

.

Таким образом, итерационный алгоритм (3) полностью определен.