Лабораторная работа № 3 "Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений" Элементы теории.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из n уравнений с n неизвестными:

.

Решением данной СЛАУ является упорядоченное множество чисел (вектор) таких, что подстановка x₁ = ₁ , x₂ = ₂ , … , x_n = _n превращает все уравнения системы в равенства.

Введем обозначения:

- матрица коэффициентов при переменных,

- вектор правых частей уравнений,

- вектор переменных.

Тогда СЛАУ записывается в следующей векторно-матричной форме:

.

Расширенной матрицей СЛАУ называется матрица коэффициентов при переменных, которая дополнена справа вектором правых частей. Все линейные преобразования уравнений системы (то есть умножение уравнения на число и прибавление к уравнению линейной комбинации остальных уравнений) эквивалентны соответствующим преобразованиям со строками расширенной матрицы.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса решения данной СЛАУ (точнее, его вариант, имеющий название метод Жордано-Гаусса).

Рассмотрим 1-ое уравнение системы и назовем его ведущим уравнением 1-ой итерации. Предположим, что а₁₁  0. Если это не так, то перестановкой переменных всегда можно добиться выполнения данного условия. Элемент а₁₁ назовем ведущим (или разрешающим) элементом преобразования Жордано-Гаусса и соответственно, строка и столбец, на пересечении которых расположен ведущий элемент, также называются ведущими. Первое уравнение системы делится на ведущий элемент. Из остальных уравнений системы переменная x₁ исключается с помощью вычитания из преобразуемой строки 1-ой строки, умноженной на соответствующий коэффициент. Формулы для новых значений коэффициентов и расширенной матрицы системы имеют вид:

- для ведущей 1-ой строки,

- для остальных строк.

После этого переобозначим коэффициенты и получим СЛАУ в тех же обозначениях, что и первоначальную. В расширенной матрице коэффициентов 1-ый столбец представляет собой единичный вектор с первым элементом, равным единице.

Рассмотрим второе уравнение системы и проведем описанную выше итерацию метода Жордано-Гаусса, используя в качестве ведущего элемента а₂₂  0. Повторяем эти итерации для всех уравнений системы. Если рассматривается k-ая строка с ведущим элементом а_kk  0, то формулы для новых значений коэффициентов и расширенной матрицы системы имеют вид:

- для ведущей k-ой строки,

- для остальных строк.

Формулу для пересчета коэффициентов неведущих строк можно представить в виде следующей схемы. Ведущий (ВЭ) и пересчитываемый (ПЭ) элементы определяют в расширенной матрице прямоугольник, две остальные вершины которого располагаются на пересечении ведущей строки и столбца пересчитываемого элемента (Э1) и пересечении ведущего столбца и строки пересчитываемого элемента (Э2).

ВЭ …………… Э1

…………………….

Э2 …………… ПЭ

Тогда можно использовать следующую формулу для вычисления нового значения пересчитываемого элемента (НПЭ):

.

Эта формула верна и в том случае, когда пересчитываемый элемент расположен в ведущем столбце. Тогда Э1 = ВЭ и Э2 = ПЭ.

В процессе преобразований возможны следующие случаи:

1) на некоторой итерации правая и левая части какого-либо уравнения обратились в 0 (то есть все коэффициенты a_ij и b_i i-го уравнения равны нулю). Это значит, что i-ое уравнение является линейной комбинацией остальных уравнений системы, может быть исключено из нее, СЛАУ переопределена и имеет бесконечное множество решений;

2) на некоторой итерации левая часть какого-либо уравнения обратилась в ноль, а правая отлична от нуля. Это значит, что система несовместна и решения не существует;

3) после выполнения всех итераций получено решение системы. При этом матрица коэффициентов приведена к единичной матрице.