2.3 Управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость объекта

Объект называется управляемым, если существует такой вектор управления, который из произвольного начального состояния переводит систему в произвольное конечное состояние за ограниченное время. В непрерывных системах этим временем является запаздываниеτ, в дискретных (цифровых) системах – количество периодов дискретностиn, т.к. .

Рассмотрим, например, систему с двумя входами и двумя выходами (рис.2.3).

Рисунок 2.3 – Структура системы с двумя входами и двумя выходами

Определим условие управляемости с помощью трех матриц: матрицы системыA, распределительной матрицы B и матрицы наблюдений C.

Переход из одного состояния в другое можно представить следующим образом:

(2.9)

или

(2.10)

Решение u существует только тогда, когда матрица (2.10) имеет ранг n. В этом случае A иB называют управляемой парой.

Для представленной системы матрица A имеет вид:

. (2.11)

Пусть коэффициенты передачи по каналам управления определяются матрицей:

. (2.12)

Здесь канал управления выключен, взаимные связи по управлению в распределителе системы отсутствуют.

Рассмотрим условие управляемости системы, составив совместную матрицу:

, (2.13)

где – описывает отсутствие связей по каналу .

Управляемость обеспечивается тогда, когда ранг матрицы , что обеспечивается только в случае .

Рассмотрим систему при (рис.2.4). В этом случае ранг матрицы , так как вторая строчка равна нулю.

Рисунок 2.4 – Схема состояния системы при

Из рисунка видно, что в такой ситуации отсутствует управление координатой , то есть система неуправляема.

Однако, если , то система будет управляемой даже тогда, когда .

Рассмотрим условия наблюдаемости системы.

Объект называется наблюдаемым, если по измерениям выходного сигнала объекта можно определить его состояние.

Процесс наблюдения (измерения) описывается в каждом состоянии следующими уравнениями:

(2.14)

Для удобства поиска решения транспонируем матрицу (переставим строки со столбцами). Тогда единственное решение будет существовать при условии, что ранг матрицы будет равен n. В этом случае будет называться наблюдаемой парой.

Для приведенного выше примера зададим матрицу . Тогда транспонированная матрица наблюдений системы и матрица процесса наблюдений:

; , (2.15)

совместная матрица условия наблюдаемости:

(2.16)

Из приведенного условия видно, что при . В этом случае система наблюдаема даже, когда отсутствует обратная связь .Однако, если , то выходная координата не будет содержать информацию о состоянии канала 2 и уровня управляющего сигнала (см. рис. 2.5).

Рисунок 2.5 – Схема состояния наблюдаемости системы при

Рассмотрим условие идентифицируемости.

Объект называется идентифицируемым, если по измерениям координат состояния объекта можно определить матрицу системы A. Состояние объекта описывается выражениями:

(2.17)

Так как векторы х известны, единственное решение для A существует только тогда, когда матрица имеет ранг n.

Для приведенного выше примера:

(2.18)

Составим совместную матрицу:

. (2.19)

Система будет идентифицируема, если ранг матрицы равен 2. Система неидентифицируема, если определитель матрицы равен нулю. Для этого должны быть равны нулю сигналы управления и . Таким образом, система, находящаяся в состоянии покоя, неидентифицируема.

Однако, наличие признака идентифицируемости не позволяет судить о качестве идентификации. Уровень качества идентификации зависит от того, какую информацию возбуждают начальные условия. Отсюда следует, что объект может быть идентифицирован с требуемым качеством только при условии, что возбуждаются все гармоники объекта, например, при подаче единичного ступенчатого или импульсного воздействия. При подаче же синусоидального сигнала одной частоты возбуждаются только те гармоники, частота которых кратна частоте входного сигнала.

При идентификации параметров цифровых, а также импульсных систем управления следует учитывать, что в определенных временных интервалах они обладают свойствами неуправляемости и ненаблюдаемости.Так, например, в приводах используются тиристорные преобразователи, сигналы управления которыми синхронизированы с сетевым напряжением. Поэтому после включения тиристора до момента его естественного запирания проходит несколько миллисекунд. Этот временной интервал называется интервалом неуправляемости.

Измерительные системы станков и другого оборудования содержат импульсные датчики или устройства аналого-цифрового преобразования. Смена информации происходит с дискретизацией по времени, который собой интервал ненаблюдаемости системы.