9.6 Статистический анализ реализации случайного процесса на выходе системы

Количественные оценки качества модели начинаются с определения ошибки. При решении инженерных задач наиболее часто используется среднеквадратическая ошибка , которая возникает, во-первых, вследствие неполной отработки полезного сигнала , спектральная плотность которого выходит за пределы амплитудно – частотной характеристики системы , во-вторых, вследствие действия возмущений и помех , спектральная функция которых перекрывает полосу пропускания системы, (см. рис. 5.11)

Рисунок 9.11 – Расположение характеристик системы, полезного сигнала и сигнала ошибки.

Учитывая, что , и применяя преобразование Лапласа, получим:

, (9.31)

где – передаточная функция объекта, на который воздействуют сигналы .

Дальнейшие преобразовании позволяют выделить передаточную функцию ошибки :

(9.32)

где – ошибка отработки полезного сигнала; – ошибка от действия помехи; – передаточная функция сигнала ошибки.

Структурная схема формирования сигнала ошибки показана на рис. 9.12

Рисунок 9.12 – Структурная схема формирования сигнала ошибки.

Поскольку и не коррелированны, то корреляционная функция сигнала ошибки равна:

. (9.33)

Преобразуя обе части этого уравнения по Фурье , найдем спектральную плотность сигнала ошибки

, (9.34)

которая состоит из двух составляющих:

1) – эта часть описывает неполную отработку полезного сигнала m(t);

2) – эта часть определяет вклад спектральной плотности помехи n(t) , т. е. возмущающеговоздействия.

Таким образом, спектральная плотность сигнала ошибки равна:

(9.35)

Для замкнутой системы (см. рис 9.13) передаточная функция сигнала ошибки:

. (9.36)

Рисунок 9.13 – Структурная схема замкнутой системы

Тогда спектральная плотность сигнала ошибки будет равна:

. (9.37)

Отсюда можно определить среднее квадратическое значение ошибки:

(9.38)

Вычисление интегралов производят либо с применением таблиц стандартных интегралов, либо численными методами программных пакетов.

9.7 Статистические методы построения модели и идентификации параметров

Статистические методы анализа применяют для моделирования сложных систем, математическое описание которых дифференциальными уравнениями затруднительно. Построение модели производится на основе анализа входной и выходной информации.

Известно, что информация об исследуемом объекте, которая содержится в его выходном сигнале y(t), зависит от предистории сигнала, что видно по уравнению свертки:

, (9.39)

где - входной сигнал, h(t) – весовая функция.

Задача моделирования сводится к определению весовой функции h(t) по наблюдениям объекта, начиная с момента t=0. При этом выходной сигнал y(t) при t>0 зависит от сигнала, порожденного ненулевыми начальными условиями при t<0. Так как этот сигнал не связан с наблюдаемой реализацией входного сигнала U(t)дляt>0, то он характеризует свободное движение системы, характер которого определяется положением нулей и полюсов системы.

Процесс свободного движения описывается уравнением:

(9.40)

Выходной сигнал, характеризующий вынужденные колебания системы y_в(t), определяется с момента t=0:

(9.41)

Тогда полный выходной сигнал равен:

(9.42)

Критерием качества анализа модели является функционал ошибки e(t):

(9.43)

где – выходные сигналы объекта и модели, соответственно; – ошибка, величина рассогласования ,определенная в интервале наблюдения t=[0,T].

Время оценивания ошибкиТ зависит, во-первых, от скорости сходимости к асимитотическим оценкам, что можно определить по изменению дисперсии оценок, во-вторых, от уровня аддитивных шумов (погрешностей нуля) и методов их фильтрации.

Значение ошибки должно быть задано, так как ее величина определяет меру риска, который может быть связан либо с изучением, либо с управлением.

Для минимизации ошибки необходимо:

1. зафиксировать начальные условия на время наблюдения объекта;

2. установить виды, параметры и точки приложения возмущений (помех);

3. определить необходимые интервалы времени Т для оценки параметров;

4. применить методы минимизации ошибок.

Если модель и объект описываются комбинацией линейных F и нелинейных G операторов, то модель может быть реализована по схеме приведенной на рис.9.14

Рисунок 9.14 – Обобщенная модель

Обобщенная ошибка зависит от параметров настройки коэффициентов и :

(9.44)

Для настройки коэффициентов, удовлетворяющих минимуму критерия применяется метод градиента.

Градиент представляет собой вектор, показывающий направление изменения коэффициентов. Так как функция зависимостиЕ от коэффициентов имеет экстремум, то градиент определяет траекторию движения к минимальному значению Е в соответствии с выражением:

. (9.45)

При этом коэффициенты на каждом шаге настройки уточняются в соответствии с алгоритмом:

. (9.46)

где – вектор коэффициентов модели после i-ой настройки; – коэффициент, задающий скорость движения по градиенту; – значение функционала ошибки в i-ом наборе ошибок.

Литература: [1] с. 97-103, [3] с. 271-339