9.4 Спектральный анализ сигналов в виде непериодической функции

Непериодическую функцию можно рассматривать как некоторую периодическую функцию, имеющую период, стремящийся к бесконечности. Практически такая функция будет представлять собой одиночный прямоугольный импульс. Так как , то , что означает слияние отдельных линий в спектре и потерю смысла в выделении дискретных значений частот.

При этом вместо целесообразно пользоваться понятием текущей частоты , которая может принимать любые значения, а амплитуда каждой частотной составляющей будет стремиться к бесконечно малой величине:

. (9.17)

Для одиночного прямоугольного импульса спектральная плотность будет определяться выражением:

. (9.18)

Для импульса произвольной формы это выражение имеет вид:

. (9.19)

Для получения исходной функции применяется интеграл Фурье:

. (9.20)

Рассмотрим спектр единичного ступенчатого сигнала, который применяется для анализа переходных процессов.

Аналитически ступенчатый сигнал описывается функцией:

(9.21)

Найдем спектральную плотность:

(9.22)

Вычисление этого интеграла связано с затруднениями: при функция не имеет определенного предела. Однако, если подинтегральное выражение домножить на величину , а затем положить , то получим:

(9.23)

Модуль спектральной функции будет равен:

(9.24)

Так как , то фазовый сдвиг . Это означает, что для образования в момент t=0 крутого изменения сигнала требуется суммирование всех гармонических составляющих с одинаковым фазовым сдвигом. Графики и приведены на рис. 9.9. Из графиков видно, что приω=0 , а это указывает на наличие дискретного колебания с конечной амплитудой при .

Поэтому иногда удобнее единичный перепад представлять суммой двух функций:

, (9.25)

где при ;

В этом случае единичная функция может быть представлена в виде

(9.26)

а б

Рисунок 9.9 – Спектральная (а) и фазовая (б) характеристики ступенчатого сигнала

9.5 Статистический анализ с применением сигналов белого шума

Предельными формами случайных процессов являются сигнал типа «белый шум» и гармонический сигнал.

Белый шум – это случайный процесс Х(t), который характеризуется отсутствием какой-либо взаимной статистической связи между любыми двумя значениями Х(t) и имеет постоянную спектральную плотность S_xx(ω).

Корреляционная функция белого шума, график которой приведен нарис.9.10, а, равна нулю для любого τ, кроме :

, (9.27)

где – спектральная плотность белого шума рис.9.10, б.

Учитывая, что дельта-функция определяется выражением

, (9.28)

корреляционную функцию белого шума можно представить в виде:

. (9.30)

0

Рисунок 9.10 – Графики корреляционной функции (а) и спектральной плотности (б) сигнала белого шума

Дисперсия белого шума равна бесконечности, т.к.

Физический процесс типа “белый шум” реализовать невозможно, т. к. мощность этого процесса бесконечно большая. Однако белый шум применяется для анализа как математическая абстракция, а при некоторых условиях в практически реализуемом диапазоне частот применяется аппроксимация белого шума сигналом с ограниченным спектром, так называемым “серым” или “цветным ” шумом.