9.2 Спектральный анализ входных периодических сигналов

Как известно, любую функцию f(x), заданную в интервале t₁ <t<t₂ и периодически повторяющуюся с частотой , где Т- период повторения, удовлетворяющую условию Дирихле, можно представить рядом Фурье в комплексной форме:

, (9.7)

где – комплексная амплитуда к-ой гармоники, – модуль амплитуды или амплитуда, – начальная фаза к-ой гармоники.

Представление функции как суммы гармонических составляющих называется гармоническим анализом, в результате которого получается картина спектра этой функции:

. (9.8)

Таким образом, между комплексной амплитудой и спектральной плотностью имеется связь:

, (9.9)

где – модуль спектральной функции, который получается делением амплитуды к-ой гармоники на удвоенную частоту , отделяющую линии спектра (рис. 9.1)

Рисунок 9.1– Амплитудно-частотный спектр

Рассмотрим в качестве примера периодический сигнал в виде прямоугольных импульсов амплитудойЕ длительностью t_ии периодом следования Т (рис. 9.2)

Рисунок 9.2 – Периодический сигнал f(t) в форме прямоугольных импульсов

0

0

Аналитически функция f(t) выражается так:

(9.10)

Спектральная плотность импульсного сигнала будет равна:

(9.11)

График этой функции показан на рисунке 9.3.

Рисунок 9.3 – График спектральной плотности прямоугольного импульса

Функция при , когда можно считать, что , принимает значение: .

0

Функция обращается в нуль через промежутки , когда обращается в нуль.

Период T следования импульсов определяет скважность Q. Если, например, скважность , то на графике спектральной функции будут линии, отстоящие друг от друга на величину (см. рис. 9.4)

0

Рисунок 9.4– Модуль спектральной функции прямоугольных импульсов скважностью Q = 4

Таким образом, форма графика спектральной плотности прямоугольных импульсов зависит только от длительности импульсов t_u, а изменение скважности влияет на число линий в спектральной функции.

9.3 Особенности спектрального анализа методом бпф.

Гармонический сигнал (рис.9.5, а) является по существу одной из составляющих случайного процесса. Корреляционная функция этого сигнала (рис.9.5, б) равна:

, (9.12)

а функция спектральной плотности (рис.9.5, в)

(9.13)

Рисунок 5.5 – График гармонической (а), корреляционной (б) и спектральной (в) функций

При обработке сигналов, наиболее эффективно применение преобразования Фурье. Однако прямое использование теории преобразования Фурье имеет следующие недостатки:

1) необходимость бесконечного интервала наблюдения;

2) необходимость интегрирования.

В практике это представляет серьезную проблему. Поэтому существует специальная методика, позволяющая устранить указанные недостатки.

Исследуемый гармонический сигналX(t) рассматривается как произведение функции X(t) на прямоугольную функцию Y(t). В результате получаем сигнал (рис. 9.6).

Рисунок 9.6 – Графики функций X(t), Y(t), Z(t) при наблюдении в течение времени Т

Так как операции умножения во временной области соответствует операция свертки в частотной области, то преобразование Фурье примет вид:

. (9.14)

Результат этой операции иллюстрируется графиками на рис 9.7

Рисунок 9.7 – Спектральные характеристики сигналов X(t), Y(t), Z(t)

На графиках спектральных плотностей гармонический сигнал представляется функциями с амплитудойuв точках +ω₀ и -ω₀.

Так как ширина спектра обратно пропорциональна длительности наблюденияТ(прямоугольной функции), спектр исходной функции несколько размывается и искажается. Этот недостаток можно устранить только увеличениемТ, т.е. окна функцииХ.

Второй недостаток (интегрирование) устраняется следующим образом.

При применении ЭВМ преобразование Фурье дляNдискретных точек имеет вид:

(9.15)

Обратное преобразование Фурье позволяет определить число необходимых точек:

(9.16)

Реализация процедуры преобразования требует выполнения умножений.

Если функцию задать большим числом точек, то затраты времени могут оказаться больше времени протекания процесса.

В связи с этим был разработан метод быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Этот метод основан на идее, что число умножений для вычисления , где – целое число может быть меньше, чем за счет исключения симметричных точек. Следовательно, может принимать только разных значений (рис. 9.8).

В результате было установлено, что число умножений может быть уменьшено до величины .

Пусть , тогда , и . Отсюда видно, что количество умножений при применении БПФ по сравнению с обычным преобразованием составит .

_{Рисунок} 9.8 – Симметричность значений при и