9 Статистические методы анализа, идентификации и моделирования

9.1 Условия применения методов статистического анализа

Статистические методы моделирования позволяют устранить неопределённость поведения системы в условиях помех и непредсказуемости возмущений.

Решающими условиями при моделировании объекта являются управляемость и наблюдаемость. Условие управляемости требует, чтобы входной сигнал возбуждал все собственные колебания объекта, а условие наблюдаемости определяет требования к полноте информации в выходном сигнале объекта.

Из этого вытекает следующее условие – исследования случайных процессов должны дать определения широкополосностивходных и выходных сигналов объекта, а также действующих возмущений и помех.

В статистическом смысле задача идентификации параметров объекта понимается как исследование параметров распределения вероятностных величин, характеризующих статистическую динамику объекта.

При вероятностном описании реализаций случайной функции ее полную характеристику дают законы распределения, однако на практике ограничиваются тремя основными параметрами:

1. математическое ожидание случайной величины X, определяемое как результат вероятностного осреднения функции распределения:

; (9.1)

где – вероятность попадания случайной величины в интервал ;

2. дисперсия случайной величины X, определяемая как мера рассеяния относительно и имеющая размерность квадрата случайной величины:

; (9.2)

3) среднеквадратическое отклонение случайной величины X, которое определяется как мера рассеивания, однако в отличии от дисперсии, имеет размерность случайной величины:

. (9.3)

При исследовании случайных величин наиболее часто полагают, что они распределяются по нормальному закону Гаусса (гауссово распределение), для которого характерны такие свойства:

1. максимальное значение вероятности в точке X=m_x равно ;

2. нормальный закон распределения симметричен относительно m_x;

3. верхние границы отклонений случайной величины находятся в пределах .

Важным условием статистического исследования является независимость математического ожидания от времени.

Случайная функция, у которой математическое ожидание =const называется стационарной.

Случайный процесс X(t), для которого все статистические свойства могут быть определены по одной единственной реализации X_i(t), называется эргодическим.

Характеристикой эргодичности процесса является автокорреляционная функция

, (9.4)

которая представляет собой оценку взаимосвязи (корреляции) значений процесса, удаленных друг от друга на величину , а также оценку скорости изменения случайного процесса.

Для эргодического процесса R_XX(τ) убывает по модулю до нуля при , т. е. если >0 такое, что

> ε при >T₀. (9.5)

Комментарий: для всех ε>0 существует T₀ такое, что корреляционная функция будет больше любой отличающейся от нуля величины εпри всех интервалах больше конечного времени T₀.

Характеристикой широкополосности сигналов является спектральная плотность :

, (9.6)

которая формально определяется как изображение Фурье автокорреляционной функции и представляет собой функцию распределения средних значений квадратов амплитуд гармонических составляющих, на которые раскладывается стационарный случайный процесс Х(t).