4.3 Идентификация моделей в виде апериодических звеньев II-го порядка

Передаточная функция апериодического звена II-го порядка описывается передаточной функцией

, (4.17)

гдеТ – постоянная времени;

ξ – коэффициент демпфирования.

При условии, что корни характеристического уравнения числителя определятся как

a₀p²+a₁p+1=0;

_;

_;

Тогдапередаточная функция примет вид

. (4.18)

Переходная функция апериодического звена II-го порядка описывается выражением

. (4.19)

Переходная характеристика апериодического звена II-го порядка приведена на рис. 4.7.

Рисунок 4.7 – Переходная характеристика апериодического звена II-го порядка

Методику идентификации параметров апериодическое звено II-го по графику переходного процесса рассмотрим на примере.

Пример 4.2. Идентифицировать по графику переходной характеристики (см. рис. 4.8) передаточную функцию, коэффициент усиления и постоянные времени. Управляющим воздействием является «единичный скачок»: 1(t)·к, с коэффициентом усиления к=1.

Рисунок 4.8 – График переходной характеристики

Решение:

Считаем, что процесс апериодический I-го порядка. Для этого начальный участок аппроксимируем прямой (см. рис. 4.9)

Получаем кривую, приближенную к зависимости I-го порядка. Считаем точкуА началом координат. Взяв 0,63 относительно т. А определяем Т₁.

.

Из графика переходного процесса при Н₁=5.5 постоянная времени составит 1.9 с.

Для определения Т₂ строим зеркальную кривую и определяем Т₂ на начальном участке кривой по уже известной методике.

.

Из зеркальной характеристики переходного процесса при Н₂=1,89 постоянная времени Т₂ составит 2,7 с.

Определим коэффициент передачи

Ответ: передаточная функция запишется

.

Рисунок 4.9 – Идентификацияпостоянных времени по переходной характеристике

4.4 Идентификация моделей в виде передаточной функции колебательного звена II-го порядка по временным характеристикам

Передаточные функции периодический (колебательных) систем могут быть представлены в виде

(4.20)

где , а .

Следовательно, для идентификации колебательных систем II-го порядка необходимо определить величины ω₀, ξ иК, где К – отношение выходного и входного сигналов в установившемся состоянии.

Коэффициент демпфирования ξнепосредственно связан с перерегулированием в процентах от установившейся величины переходной функции показано на рис. 4.10. Если коэффициент демпфирования ξопределяется графически в соответствии с рис. 4.10, то собственная частота системы ω₀ может быть определена следующим образом:

, (4.21)

где

, (4.22)

а Θ – период демпфированных колебаний переходной функции (см. рис. 4.11, 4.12).

Рисунок4.10 – Переходные функции колебательных систем II-го порядка

Рисунок 4.11 – Зависимость перерегулирования от коэффициента демпфирования

Также можно определить период демпфированных колебаний и постоянную времени путем аппроксимации переходного процесса колебательного звена апериодическим процессом 1-го порядка, как показано на рис. 4.12.

Рисунок 4.12 – Идентификация параметров колебательного звена по переходной характеристике

Как и в предыдущих случаях возможна идентификация параметров колебательных систем второго порядка с помощью импульсной переходной функции, которая для различных коэффициентов демпфирования изображена на рис. 4.13.

Рисунок 4.13 – Импульсные переходные функции периодических систем второго порядка

Импульсная переходная функция колебательных систем второго порядка имеет вид

. (4.23)

где , причем ;

А(+), А(–) – положительная и отрицательная последовательные площади соответственно, ограниченные импульсной переходной функцией, как показано на рис. 4.14

Рисунок 4.14 – Определение коэффициента ξ по отношению площадей

После того как ξи ω₀ определены, К модно найти из уравнения (4.23).

Все выше приведенные методики идентификации применимы только к математическим моделям объектов описанных типовыми динамическими звеньями.