4. Физический маятник.

Это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела. При его отклонении из положения равновесия на малый угол , по уравнению динамики вращательного движения твердого тела, момент М силы

M = J = J^// = F.l = - mglsin = - mgl.

где J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О, l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника,

F = - mgsin = - mg -

возвращающая сила.

J^// + mgl = 0. или

^// + (mgl)/J = 0.

С учетом w = mgl/J получим уравнение

 + w = 0

решая которое получим

 = cos(wt + ).

При малых колебаниях физический маятник совершает колебания с циклической частотой w и периодом

T = 2/w = 2J/(mgl).

Рисунок 209-9. Физический маятник.

Б. Методика и техника эксперимента

Физическим маятником называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной оси О, не проходящей через центр инерции С. На него действуют сила тяжести mg и сила реакции со стороны оси .

П оскольку все точки маятника движутся по окружностям, центры которых расположены на одной оси, его движения является вращательным. При отклонении маятника от положения равновесия на угол  возникает вращательный момент M силы тяжести

,

где m – масса маятника, d - расстояние от оси вращения до центра масс системы. Знак “минус” обусловлен противоположной направленностью  и M. Момент силы реакции оси равен нулю, т.к. линия действия силы проходит через ось вращения.

Применим основной закон динамики вращательного движения:

,

в котором - угловое ускорение, J - момент инерции маятника. Преобразуя его к виду

и учитывая, что при малых углах отклонения маятника , получим дифференциальное уравнение колебательного процесса:

.

Как нетрудно увидеть путем прямой подстановки, решение данного уравнения имеет вид:

,

т.е. угол  изменяется по гармоническому закону, тело совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом

. (1)

Приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Формула для периода колебаний математического маятника имеет вид:

. (2)

Из сравнения выражений (1) и (2) видно, что приведенная длина физического маятника равна:

. (3)

Отложим от точки подвеса О вдоль прямой ОС отрезок ОО, длина которого равна приведенной длине физического маятника l. Точка О называется центром качания. Центр качания можно определить как точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.

По теореме Штейнера

.

Подставив это выражение в формулу (3), получим следующее выражение для приведенной длины:

. (3)

Отсюда следует, что, во-первых, l > d, т.е. точка подвеса О и центр качания О лежат по разные стороны от центра масс С и, во-вторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина, а следовательно, один и тот же период колебаний Т.

Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания О , то его период не изменится и прежняя точка подвеса О сделается новым центром качания. Это положение называется теоремой Гюйгенса.

Пусть О является точкой подвеса. Тогда приведенная длина в соответствии с (3) будет

.

Из рисунка видно, что , а в соответствии с (3) . Подставив это значение в предыдущую формулу, получим:

,

т.е. приведенная длина, а следовательно, период колебаний физического маятника остались без изменений.

Т еорема Гюйгенса используется в оборотном маятнике для измерений ускорения свободного падения. Физический оборотный маятник, используемый в данной работе, состоит из металлического стержня, на котором жестко закреплены две опорные призмы О и О, и три чечевицы. Находится между опорными призмами. Путем перемещения чечевицы А можно менять расстояние d между точкой подвеса О и центром тяжести С, а также расстояние d между центром тяжести С и центром качания О.

Перемещением этой чечевицы достигают совпадения периодов колебаний маятника, когда точками подвеса являются ребра опорных призм О и О. Поэтому при совпадении периодов колебаний расстояние между ними дает приведенную длину физического маятника l. Измеряя период колебаний Т, можно вычислить ускорение g по формуле, полученной из (2):