Ряд Тейлора

Пусть ф-я имеет производные любого порядка в окрестности точки . Для такой ф-и можно составить ряд:

Независимо от того, сх-ся или расх-ся этот ряд, он наз. рядом Тейлора ф-и по степеням . Если , то соответствующий ряд называют рядом Маклорена.

Теорема1. Если ф-я имеет на отрезке производные любого порядка и остаточный член стремится к 0 при

на этом отр., то разлагается в сх-ся к ней ряд Тейлора на этом отр.

Теорема2. Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , то остаточный член на этом отрезке стремится при к 0.

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

1.

Эта функция бесконечно дифферкнцируема на . При этом

.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, ,

где может быть положительным и отрицательным. На отрезке ,

.

Это показывает, что функция разлагается на в сходящитйся к ней ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена):

.

Но произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси.

2.

Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Поэтому по теореме2 функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :

.

3.

Совершенно аналогично можно получить, что

.

4.

Эта функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого при . Так как

,

то формула Тейлора имеет вид

.

Используя ф-лы лагранжа и Коши остаточного члена можно показать, что . Поэтому ф-я разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

.

5.

Для этой функции

,

.

Формула Тейлора по степеням имеет вид

.

Можно доказать, что при любом : . Поэтому для любого действительного имеет место разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

.

10. Диф-ть ф-и многих действ пер-х.

Опр.1 Ф-и, которые определены на множествах n-мерного арифметического евклидового пространства Rⁿ и значениями которых являются действительные числа, называются функциями многих переменных f(x)=f(x₁, …, x_n), x Rⁿ.

Опр.2 Если ф-я f(x) определена в точке x Rⁿ и в некоторой ее окрестности, то называется частной производной функции f по k-й переменной.

Опр.3 Функция f(x), x Rⁿ называется дифференцируемой в точке x Rⁿ, если ее полное приращение можно представить в виде

,

где A_i=const, α_i(Δx₁,…, Δx_n) – бесконечно малые функции при Δx_i→0.

Теорема 1 Если функция f(x) диф-ма в точке x Rⁿ, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2 (необходимое условие диф-ти ф-и в точке) Если ф-я f(x) диф-ма в точке x Rⁿ, то в этой точке существуют частные производные , i = 1, …, n.

Сл-е Если ф-я f(x) диф-ма в точке x Rⁿ, то представление ее полного приращения единственно:

Опр.4 Дифференциалом функции f(x), x Rⁿ, называется линейная функция вида .

Теорема 3 (достаточное условие диф-ти функции в точке) Если ф-я f(x) в некоторой окрестности точки x Rⁿ имеет непрерывные частные производные, то она диф-ма в этой точке.

Опр.5 Точка x₀ Rⁿ называется точкой локального минимума (соответственно локального максимума) функции f(x), если существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех x U(x₀), x≠x₀, выполняется неравенство f(x)>f(x₀) (соответственно f(x)<f(x₀)).

Опр.6 Точки лок. макс. и минимума ф-и наз-ся точками лок экстремума.

Теорема 4 (необходимое условие локального экстремума) Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x₀ Rⁿ , то в этой точке частные производные (x₀)=0, i=1, …, n.

Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума) Пусть точка x₀ Rⁿ является стационарной точкой функции f(x), т.е. (x₀)=0, i = 1, …, n; квадратичная форма , т.е. второй дифференциал функции f(x) в точке x₀ Rⁿ. Тогда, если квадратичная форма положительно определена, т.е. Δ>0, то x₀ – точка локального минимума, если отрицательно определена, т.е. Δ<0, то x₀ – точка локального максимума.