8.Функциональные последовательности и ряды.

- функц-я последовательность (ФП), - функц-й ряд (ФР).

Опр. . - ФП.

1.Область опр-я ФП – мн-во Х, при котором Для любого : имеет смысл.

2.Область сх-тиФП – мн-во тех Х, при кот. числовая посл-ть - сх-ся.

3. наз. предельной функцией, если для любого , т.е. .

4. наз. равномерносх-ся к на мн-ве Х, равном-но сх-ся а , если .

5.Критерий равномерной сх-ти. равном-но сх-ся а .

6.Криткрий Коши (равномерной сх-ти). ФП равномерно на мн-ве Х стремится к нек. предельной ф-и .

Опр. Ряд составленный из функций одной и той же переменной : , наз. функциональным.

Опр. ФР наз. равномерносходящимся на Х, если на этом мн-ве равномерно сх-ся посл-ть его частичных сумм.

Критерий Коши равн-ой сх-ти ФР: - равн-но сх-ся .

Признаки равномерной сх-ти ФР:

1.Признак Веерштраса. ФР равномерно сх-ся в области Х, если сущ. такой сх-ся числовой ряд , что для всех значений , лежащих в этой области, имеет место неравенство .

2.Признак Дирихле. Пусть на Х частичный равномерно ограничен, а последовательность монотонна (т.е. ) при каждом и равномерно сх-ся к 0 на Х, тогда -равномерно сх-ся на Х.

3.Признак Абеля. Пусть -равномерно сх-ся, а монотонна при каждом и равномерно ограничена, тогда -равномерно сх-ся на Х.

Свойства функциональных рядов.

1.Почленное интегрирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

Теорема (для последовательности): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

2.Почленное дифференцирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого существует производная , пусть равномерно сх-ся на Х к ,и пусть сущ. , тогда , .

Теорема (для последовательностей): Пусть для любого существует производная , пусть равномерно сх-ся на Х к ,и пусть существует , тогда , .

Степенные ряды

Опр. ФР вида , называется степенным рядом.

Особенности:

Любой степенной ряд сх-ся при .

Опр. радиусом сх-ти степ-го ряда, называется число т.ч. степ-й ряд абсолютно сх-ся при и расходится при .

Формулы для нахождения радиуса сх-ти:

формула Коши-Адамара .

формула по признаку Даламбера . (P.S.Признак Даламбера. Если , то при - ряд сходится, при - ряд расх-ся, - нельзя сказать).

Свойства степенных рядов:

1. равномерно сх-ся на к .

2.Теорема Абеля. Если ряд - сх-ся, то . - непрерывна в точке слева. (P.S. функция назю непрерывной, если при небольших изменениях аргумента х функция у изменяется также весьма мало, и график такой функции является сплошной непрерывной кривой).

3. степ-й ряд можно почленно интегрировать на . При этом радиус сх-ти не меняется.

4. степ-й ряд можно почленно дифференцировать. При этом радиус сх-ти не меняется.

9 Формула Тейлора

Предп что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку .Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке:

.

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням с неопределенными коэффициентами:

. (*)

Далее находим производные от . Подставляя в левые и правые части этих производных вместо значение и заменяя через , через и т.д., получим

.

Откуда находим неизвестные коэффициенты ,и подставляя их в формулу (*), получим искомый многочлен

.

Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена : , откуда , или в развернутом виде

Т. о. мы получили ф-лу Тейлора ф-и одной действ. пер-й. наз-ся остаточным членом.

Формы остаточного члена.

1.Форма Лагранжа: , (точка заключена между и , ).

2.Форма Коши: , .

3.Форма Пеано: .