5. Уравнение Бернулли

y^’=P(x)y+Q(x)y^m , m0, m1 Пусть Подставляя полученное выражение в ур-е Бернулли, получим: Пришли к линейному ДУ относительно z.

6. Уравнение Рикатти:

y^’=P(x)y+Q(x)y²+f(x)

В общем виде это ур-е не интегр-ся, но оно может быть сведено заменой пер-х к ур-ю Бернулли, если известно какое-то частное реш-е y₁(x) этого ур-я. Вводя новую ф-ю z(x) пологая y=z+y₁ и подставляя последнее в данное ур-е, получим: z’+y₁’=P(x)(z+y₁)+Q(x)z²+2Q(x)zy₁+Q(x)y₁²+f(x) т. к. y₁–решение исходного ур-я  y₁’=P(x)y₁+Q(x)y₁²+f(x) Подчеркнутые члены взаимно уничтожаются и для отыскания z, получим: z’=(P(x)+2Q(x)y₁)z+Q(x)z², т. е. пришли к ур-ю Бернулли.

7. Уравнения в полных дифференциалах:

– полный дифференциал.

ДУ 1-го порядка вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) наз. ур-ем в полных диф-лах, если его левая часть явл-ся полным диф-лом нек-й ф-ии U(x,y), т. е. P(x,y)= Q(x,y)= . Для того, чтобы (1) являлось ур-ем в полных диф-лах необх. и достаточно, чтобы выполнялось след. усл-е:

– условие Эйлера; = =

Если (1)явл-ся. ур-ем в полных диф-лах  оно м. б. переписано в виде

dU=0 (2). Общий интеграл (2) имеет вид U(x,y)=C (3), где С – некоторая постоянная. Ф-я U может быть найдена след. образом: по условию имеем =P(x,y). Проинтегрируем это выражение по х

(4). Для отыскания воспользуемся вторым соотношением из условия . Подставим в (4)  приходим к ур-ю для отыскания : . Интегрируем,  находим подставляя которую в (4), а (4) в (3) закончим процесс построения решения.

67 Ду, допускающие понижение порядка.

1. Исходное ДУ не содержит функцию, ее производных до (к-1) порядка т. е. ур-е имеет вид:

F(x,y^(k),y^(k+1),…y⁽ⁿ⁾)=0 (1) Порядок ур-я может быть снижен до (n-k)порядка заменой y^(k)(x)=p(x)  y^(k+1)(x)=p’(x), y^(k+2)(x)=p’’(x)…y⁽ⁿ⁾(x)=p^(n-k)(x) 

F(x,p(x),…p^(n-k)(x))=0 (2) Интегрируя (2)  p(x)=p(x,c,…c_n-k) Ф-я у после этого находится путём к-ого интегрирования, т. е. y₁^(k)(x)=p(x, c₁,…,c_n-k).

2. Исходное ур-е не содержит переменной x

F(y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 (3)

В этом случае порядок может быть снижен на 1 подстановкой: y’(x)=p(y), т. е. p рассматривается как новая неизвестная ф-я от y, т. е. p=p(y)  y’(x)=p(y)  высшие производные будут вычислены по формулам:

y”=(y’)’=(p(y))’=p’y’=pp’  исходное ур-е примет вид F(y,p,p’,…p^(n-1)(y))=0 – порядок ниже на 1.

3. F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 и левая часть этого ур-я представляет собой произведение некоторого диф. выражения (n-1) порядка, т. е. (x,y,y’,…,y^(n-1)(x))=0. В этом случае находится так называемый первый интеграл, т. е. ДУ (n-1) порядка с 1 производной постоянной эквивалентен исходному ур-ю n-го порядка. Этим понижается порядок исходного ур-я на 1.

4. Рассмотрим частный случай ур-я n-го порядка с переменными коэффициентами, именуемые уравнением Эйлера имеет вид:

x⁽ⁿ⁾y_n⁽ⁿ⁾(x)+x^(n-1)y_n-1^(n-1)(x)+…+xy₁(x)+a₀y(x)=0, a₀=const0 (4) Заметим, что порядок х соответствует порядку производной y(x). Решение (4) может быть получено введением новой переменной x=e^t  dx=e^tdt (5)

(6)

Аналогично могут быть выражены и следующие производные по x. Подставляя (5), (6) в (4) и преобразуя его, сведём (4) с переменными коэффициентами к ДУ с постоянными коэф-ми, методы решения которые нам известны.

5.F(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x))=0 (7)

Пусть (7) однородно относительно аргумента y,y’,…,y⁽ⁿ⁾ т. е. однородно относительно i-ой производной 

F(x,ky,ky’,…,ky⁽ⁿ⁾(x))=k^pF(x,y,y’,…,y⁽ⁿ⁾(x)) (8) (8) является однородным p-го порядка (измерения). Порядок такого ур-я может быть понижен на 1 подстановкой

(9) где z(x) – новая неизвестная ф-я. При такой замене:

y’=z y’’=(z²+z') (10) Подставим (10) в (7) и замечаем в силу однородности (7), что множитель можно вынести за знак ф-ии F и получим

F(x,z,z’,…,z^(n-1)(x))=0.