Лекция 6. Приложения метода включения и исключения в теории чисел Теорема Лежандра

Введем обозначения:

- наибольшее целое число, не превосходящее x (то есть для положительных x – целая часть x);

(a, b) – наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел a и b (a0, b0). Если (a, b)=1, то a и b взаимно простые (например, 4 и 9 – взаимно простые числа, так как их наибольший общий делитель - единица);

- а делит нацело b;

- а не делит нацело b.

Теорема

Пусть дано N натуральных чисел a₁, a₂, … , a_N, причем все эти числа попарно взаимно простые (то есть (a_i, a_j)=1 при ij). Тогда количество m натуральных чисел, не превышающих некоторого n (0<mn) и взаимно простых с любым из a₁, a₂, … , a_N (то есть , ) равно

# Пусть S – n-множество натуральных чисел {1, 2, … , n}. Обозначим через p_i свойство элемента множества S делиться нацело на a_i ( ).

Выражение в формуле решета – это количество таких чисел, не превышающих n и делящихся нацело на каждое из чисел . По условию теоремы все a_i попарно взаимно простые, следовательно,

.

Подставляя эти числа в формулу решета, получим доказываемую формулу. #

Пример. Определим, сколько чисел, не превышающих 100, не делятся нацело на 4, 9 и 11. Всего чисел n=100. Среди них делящихся на 4 – ; делящихся на 9 – ; делящихся на 11 – ; делящихся на 4 и 9 – ; делящихся на 4 и 11 – ; делящихся на 9 и 11 – ; делящихся на 4, 9 и 11 – . Тогда по теореме Лежандра количество чисел, не превышающих 100 и не делящихся нацело на 4, 9 и 11, равно

Функция Эйлера

Функция Эйлера φ(n), где n – натуральное число, дает количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n. Иначе говоря, φ(n)=k, где 0<kn; (k,n)=1.

Теорема

, где p_i – все простые делители n. ( - произведение по всем простым делителям числа n).

# В теореме Лежандра заменим a_i на p_i, где p_i – простые делители n.

Тогда (так как p_i делят n нацело).

По теореме Лежандра

. #

Пример. Определим, сколько чисел, не превышающих 100, взаимно простые с 100. Разложим число 100 на простые сомножители: 100=2·2·5·5=2²5². Таким образом, у числа 100 два простых делителя – 2 и 5. По формуле Эйлера получаем

.

Таким образом, среди первой сотни есть 40 чисел, взаимно простых с 100.

Функция Мебиуса

Функция Мебиуса (n), где n – натуральное число, принимает следующие значения:

Функция Мебиуса позволяет записать функцию Эйлера в виде суммы:

.

Суммирование идет по всем делителям n (а не только по простым делителям).

Пример. Вычислим φ(100), используя функцию Мебиуса.

Все делители 100 – {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

(1) = 1,

(2) = (-1)¹ = -1 (у двойки один простой делитель – 2)

(4) = 0 (4 делится на квадрат двойки)

(5) = (-1)¹ = -1 (у 5 один простой делитель – 5)

(10) = (-1)² = 1 (у 10 два простых делителя – 2 и 5)

(20) = 0 (20 делится на квадрат двойки)

(25) = 0 (25 делится на квадрат пятерки)

(50) = 0 (50 делится и на 2², и на 5⁵)

(100) = 0 (100 делится и на 2², и на 5⁵)

Таким образом,

Свойство функции Мебиуса: .

Например, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

.