3 Способ – доказательство с помощью рекуррентной формулы.
Метод базируется на получении формулы, позволяющей вычислять значения искомой величины шаг за шагом, исходя из известных начальных значений и значений, вычисленных на предыдущих шагах.
Рекуррентная формула r-го порядка – формула вида
an= f(n, an-1, an-2, … , an-r).
Формула выражает при n>r каждый член последовательности {ai} через предыдущие r членов. Построение рекуррентной формулы состоит из следующих шагов.
1. Выработка начальных условий исходя из каких-либо очевидных соотношений.
Обозначим
через f(n,r). Очевидно, что
(1)
2. Логические рассуждения. Зафиксируем какой-либо элемент во множестве S. Тогда относительно любого r-сочетания с повторениями из n-множества S можно сказать, содержит ли оно данный зафиксированный элемент или нет.
Если содержит, то остальные (r-1) элемент можно выбрать f(n, r-1) способами.
Если не содержит (в выборке этого элемента нет), то r-сочетание составлено из элементов (n-1)-множества (множество S за исключением данного зафиксированного элемента). Число таких сочетаний f(n-1, r).
Т.к. эти случаи взаимоисключающие, то по правилу суммы
(2)
3. Проверка формулы на некоторых значениях и вывод общей закономерности.
1) Вычислим f(n,0). Из (2) следует
. (3)
Тогда f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Из (1) f(n,1)=n, f(n-1,1)=n-1.
Следовательно, f(n,0)=n-(n-1)=1=
.
2) f(n,1) = f(n,0)+f(n-1,1)
= 1+n-1 = n =
=
.
3) f(n,2) = f(n,1)+f(n-1,2) = n+f(n-1,1)+f(n-2,2) = n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =
= n+(n-1)+…+2+1 =
.
(сумма арифметической прогрессии)
4) f(n,3) = f(n,2)+f(n-1,3)
=
+f(n-1,2)+f(n-2,3)
=
+
+f(n-2,2)+f(n-3,3)
= … =
.
(сумма геометрической прогрессии)
5) f(n,4) =
На основе частных случаев можно предположить, что
4. Проверка начальных условий с помощью полученной формулы.
,
что согласуется с (1) #
Пример. Пусть дано множество
S={1,2,3,4}. Найти число сочетаний с
повторениями при r=2. По прямой
формуле:
.
По рекуррентной формуле:
.
Если r-сочетание содержит единицу,
то это одно из следующих сочетаний: 11,
12, 13, 14 – всего 4
.
Если r-сочетание не содержит единицу,
то это одно из следующих сочетаний: 22,
23, 24, 33, 34, 44 – всего 6
.
.
Используя рекуррентную формулу, можно
построить таблицу для
.
В приведенной ниже таблице столбцы
соответствуют значениям r, строки
– значениям n. Так как
,
в строке 1 находятся единицы. Так как
,
в столбце 0 находятся единицы. Так как
,
в столбце 1 находятся номера строк. Из
рекуррентной формулы
следует, что значение в n-й строке
r-м столбце (заданная клетка) равно
сумме значения в n‑й строке (r-1)-м
столбце (клетка слева от заданной) и
значения в (n‑1)‑й строке r-м
столбце (клетка сверху над заданной).
r n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
… |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
3 |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
… |
4 |
1 |
4 |
10 |
20 |
35 |
… |
5 |
1 |
5 |
15 |
35 |
70 |
… |
|
|
|
|
|
|
|