Некоторые комбинаторные соотношения для чисел сочетаний без повторений

(1).

# Следует из того, что – коэффициенты бинома:

.

Подставляя вместо a единицу, вместо b – t, получим формулу (1). #

(2). . # получается из (1) при t =1. #

(3). . # следует из (1) при t = -1. #

(4).

# продифференцируем (1) по t: ,

затем подставим t =1: #

(5).

# продифференцируем (1) по t k раз:

подставляем t = -1:

,

разделим левую и правую часть на k!

#

(6).

# проинтегрируем левую и правую часть (1) от 0 до 1:

,

. #

(7). . # интегрируем (1) от -1 до 0. #

(8). - гармонический ряд

(9).

(10). Если p – простое число, то каждое из чисел делится на p.

# , , , … , . #

Лекция 3. Теорема 4. Число сочетаний с повторениями

Число r-сочетаний с повторениями из n-множества равно

.

# 1 способ – доказательство Эйлера.

Пусть дано n-множество S. Пронумеруем все его элементы, т.е. множеству S взаимно однозначно поставим в соответствие множество S’: S  S’={1, … , n} – номера элементов из S. Тогда r-выборке из S однозначно соответствует выборка r натуральных чисел из S’. Т.к. в сочетании порядок не важен, r-выборку натуральных чисел можно расположить так, чтобы

a₁  a₂  …  a_r (1)

(где a_i – выбранное натуральное число). Между числами стоит знак , т.к. выборка с повторениями и числа могут повторяться (например, а₂ и а₃ могут быть одним и тем же числом).

Добавим в выборке (1) к а₁ ноль, к а₂ – 1, к а₃ – 2 и т.д., т.е. получим выборку

a₁+0 < a₂+1 < … < a_r+r-1 (2)

Выборка (2) взаимно однозначно соответствует выборке (1), причём в ней нет одинаковых чисел (неравенство строгое). Следовательно, выборка (2) – это r-выборка без повторений из множества S’’`={1, … , n, n+1, n+2, … , n+r-1}, S’’ - (n+r-1)-множество.

Таким образом, Эйлер свёл задачу о числе r-сочетаний с повторениями из n-множества к числу r-сочетаний без повторений из (n+r-1)-множества.

2 Способ – доказательство Виленкина или метод словесной индукции.

Рассмотрим доказательство на примере. Пусть S={a, b, c, d, e}, 5-множество (n=5). Выберем некоторые сочетания с повторениями из S по три буквы (r=3), например,

abb ccc bee.

Возьмем последовательность abcde и добавим к ней каждое из этих сочетаний:

abcdeabb abcdeccc abcdebee.

Разделим элементы полученных выборок перегородками:

a|b|c|d|e|a|b|b a|b|c|d|e|c|c|c a|b|c|d|e|b|e|e.

В любой из этих выборок по 7 перегородок. Если во множестве S n элементов, а нас интересует число r-сочетаний, то в построенных аналогичным способом выборках можно поместить n+r-1 перегородок (7=5+3-1).

Поскольку в сочетаниях порядок не важен, перегруппируем буквы так, чтобы одинаковые буквы располагались рядом (изменение порядка элементов сочетание не изменяет):

aa|bbb|c|d|e a|b|cccc|d|e a|bb|c|d|eee.

Здесь разделители разделяют группы одинаковых букв. Поскольку различных букв всего 5, разделителей в любой такой выборке 4. (Если во множестве S n элементов, то в выборке можно поставить n-1 разделитель групп одинаковых элементов).

Итак, в выборках есть (n+r-1) мест для размещения перегородок, а нужно разместить (n-1) перегородку. Задача свелась к установке n-1 перегородки на n+r-1 мест. Для каждого конкретного сочетания существует единственный способ установки перегородок, т.е. способ выбрать n-1 место из n+r-1. Поскольку перегородки не различаются, количество способов их расставить – это количество сочетаний по n-1 из n+r-1.

(второе равенство в силу свойства симметричности ).