Формулы основных комбинаторных чисел Теорема 1. Число перестановок без повторений

Число r-перестановок без повторений из элементов n-множества равно

.

# Пусть дано n-множество S и T_i – n_i-подмножества множества S, где i=1,2,…,n. Тогда доказательство есть частный случай применения обобщенного правила произведения, где

n₁=n, n₂=n-1, n₃=n-2, …, n_r=n-r+1 #

Следствие 1. Число перестановок n предметов равно:

.

Следствие 2. .

Следствие 3. При r>n (в перестановках с повторениями r не может быть больше n, так как мы не можем из n-множества забрать более, чем n элементов).

По определению, (ноль предметов можно выбрать из n предметов единственным способом – ничего не выбирать).

Теорема 2. Число перестановок с повторениями

Число r-перестановок с повторениями из n-множества равно .

# Следует из обобщённого правила произведения, где n₁=n, n₂=n, n₃=n, …, n_r=n. (Выбираем из исходного множества какой-либо элемент, ставим его на очередное место в перестановке, но из исходного множества не удаляем и его можно будет выбрать ещё раз) #

В перестановках с повторениями r может быть больше n, так как при выборе элемента мы не удаляем его из множества и можем выбрать еще раз.

Теорема 3. Число сочетаний без повторений

Число r-сочетаний без повторений из n-множества равно

.

# Число r-перестановок без повторений из n-множества равно , однако порядок элементов в r‑выборке здесь нас не интересует. Число возможных перестановок элементов в r-выборке равно . Следовательно, число сочетаний без повторений в r! раз меньше числа перестановок без повторений. #

Следствие 1.

Свойство симметричности для числа сочетаний без повторений: .

# #

Следствие 2. , т.к. (Ноль предметов выбрать из n предметов можно единственным способом – ничего не выбирать. Выбрать n предметов из n без учета порядка можно единственным способом – выбрать все n предметов.)

Следствие 3. При r>n (в сочетаниях с повторениями r не может быть больше n, так как мы не можем из n-множества забрать более, чем n элементов).

Числа являются коэффициентами бинома Ньютона (a+b)ⁿ:

Например, (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

.

Поэтому числа сочетаний без повторений еще называют биномиальными коэффициентами.

Ещё одно обозначение этих чисел: .

Рекуррентная формула для числа сочетаний без повторений. Треугольник Паскаля.

Вычислять числа сочетаний без повторений можно не только по прямой формуле , но и по рекуррентной формуле, где каждое новое значение числа сочетаний вычисляется на основе предыдущих значений. Выведем эту формулу.

Зафиксируем в n‑множестве некоторый элемент и рассмотрим r‑сочетания без повторений из этого n‑множества. Относительно любого сочетания можно сказать, содержит ли оно данный зафиксированный элемент или нет.

Если содержит, то остальные (r-1) элементов сочетания выбираются из (n-1)-множества. Число способов выбрать (r-1) элемент из (n-1)-множества без учета порядка: .

Если не содержит (в сочетании этого элемента нет), то это r‑сочетания из (n-1)-множества (то есть из множества, в котором удален данный элемент). Число способов выбрать r элементов из (n-1)-множества без учета порядка: .

Эти два случая взаимоисключающие, поэтому по правилу суммы

с начальными условиями

, и при r>n .

Таким образом, числа сочетаний без повторений (биномиальные коэффициенты) можно вычислять не только по прямой формуле, но и рекуррентно. Построим таблицу для биномиальных коэффициентов. Исходя из начальных условий, в столбце 0 и на диагонали находятся единицы, а все клетки, находящиеся выше диагонали, содержат нули. Из рекуррентной формулы следует, что для получения значения в n-й строке r-м столбце (заданная клетка) нужно сложить значение в (n-1)‑й строке r-м столбце (клетка сверху над заданной) и значение в (n‑1)‑й строке (r-1)-м столбце (клетка сверху слева от заданной).

r n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	…	Бином
0	1										(a+b)0 = 1	1=20
1	1	1									(a+b)1 = 1a+1b	2=21
2	1	2	1								(a+b)2 = 1a2+2ab+1b2	4=22
3	1	3	3	1							(a+b)3 = 1a3+3a2b+3ab2+1b3	8=23
4	1	4	6	4	1						(a+b)4 = 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4	16=24
5	1	5	10	10	5	1						32=25
6	1	6	15	20	15	6	1					64=26
7	1	7	21	35	35	21	7	1				128=27
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1			256=28
												

Эта таблица называется треугольником Паскаля. Он позволяет быстро находить числа сочетаний без повторений и не требует вычисления факториалов.

Видно, что в каждой строке таблицы сумма чисел равна степени двойки. Это свойство чисел сочетаний без повторений, которое будет доказано ниже.