Правила суммы и произведения
Правило суммы
Если объект a можно выбрать p способами, а объект b – другими q способами, то выбор “либо a, либо b” может быть осуществлен p+q способами. При этом выборы a и b являются взаимно исключающими.
Например, в вазе лежит 3 яблока и 5 груш. Тогда взять из вазы либо одно яблоко, либо одну грушу (взаимоисключающие события) можно 3+5 = 8 способами.
Обобщённое правило суммы
Пусть дано r множеств Ti
(i=1,…,r), каждое из которых
содержит ni элементов (Ti
- ni‑множество), причём
множества взаимно не пересекаются:
TiTj=
при ij. Тогда
объединение этих множеств S=T1
T2…Tr
есть (n1+…+nr)-множество.
.
Правило произведения
Если объект a можно выбрать p способами, и после каждого из таких выборов объект b можно выбрать q способами, то выбор “a и b” в указанном порядке может быть осуществлен p·q способами. При этом выборы a и b являются независимыми.
Например, в вазе лежит 3 яблока и 5 груш. Тогда взять из вазы одно яблоко и одну грушу (события происходят совместно) можно 3·5 = 15 способами.
Обобщённое правило произведения
Пусть дано r множеств Ti (i=1,…,r), каждое из которых содержит ni элементов (Ti - ni‑множество), причем неважно, пересекаются ли Ti или нет. Осуществим выбор элементов последовательно из множеств Ti.
Выбирая из Т1, получим множество М1 – множество всех возможных выборок по одному элементу из Т1. (М1 – n1-множество). М1=Т1
Выбирая сначала из Т1, потом из Т2, получаем множество М2 упорядоченных пар элементов из Т1 и Т2 (М2 – n1n2-множество). М2=Т1xТ2=M1xТ2.
Аналогично М3=Т1xТ2xТ3=M2xТ3 – множество упорядоченных троек (n1n2n3-множество); М4=Т1xТ2xТ3xТ4=M3xТ4 – n1n2n3n4-множество; … ; Мr= Mr-1xТr – n1n2…nr-множество. То есть произведение r множеств есть n1n2…nr-множество.
.
Лекция 2. Виды выборок
Комбинаторику интересуют результаты отбора (построения выборок) и упорядочения элементов, выраженные в комбинаторных числах. Если после выбора элемент из множества удаляется (его нельзя еще раз выбрать) – это выборка без повторений. Если после выбора элемент из множества не удаляется и его можно выбрать еще раз – это выборка с повторениями. Если в выборках важен порядок элементов – это перестановки. Если же выборки с разным порядком элементов считаются одинаковыми – это сочетания.
С понятием отбора элементов в комбинаторике связано понятие выборки. Выборки могут быть упорядоченными и неупорядоченными, без повторений элементов и с повторениями.
Обозначим знаком
отношение упорядоченности. Тогда запись
означает, что a предшествует b,
а
- a предшествует или совпадает с b.
|
|
|
|
r-перестановка без повторений из n-множества
|
r-перестановка c повторениями из n-множества
|
r-сочетание без повторений из n-множества
|
r-сочетание с повторениями из n-множества
|
Число перестановок обозначается буквой P (permutation), число сочетаний – буквой C (conjunction). Произносится:
- “P из n по r” или “P по r из n”;
- “C из n по r” или “C по r из n”.
Все числа, существующие в комбинаторике, так или иначе, являются комбинациями этих четырех чисел.