Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Інститут комп’ютерних наук та інформаційних технологій

Кафедра автоматизованих систем управління

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ З ОФОРМЛЕННЯ

ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № 8

«Методи розв’язування диференційних рівнянь

у частинних похідних»

З КУРСУ «ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ»

для студентів IІІ курсу (VІ семестр)

базового напрямку 051501 «Комп’ютерні науки»

для спеціальності 7.080401 – інформаційні управляючі системи та технології

Затверджено

на засіданні кафедри

автоматизованих систем управління

Протокол № 9-10/11 від 12.01.2011 р.

Львів – 2011

Методичні вказівки до лабораторної роботи № 8 з дисципліни «Чисельні методи в інформатиці» для студентів базового напрямку 051501 «Комп’ютерні науки» стаціонарної і заочної форм навчання / Укл. Я.П. Романчук, І.М. Дронюк,. – Львів: Видавництво НУЛП, 2011. – 16 с.

Укладачі: Романчук Я.П., канд. фіз.-мат. наук, доц.,

Дронюк І.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск: Шпак З.Я.

Рецензент: Цегелик Г.Г., д-р фіз.-мат. наук, проф.

Лабораторна робота № 08.

Методи розв’язування диференційних рівнянь

у частинних похідних

Вступ

Із розв’язуванням диференційних рівнянь у частинних похідних інженерам і дослідникам доводиться зустрічатися в багатьох областях науки і техніки, в аеро- і гідродинаміці, ядерній фізиці, радіозв’язку тощо.

Математичні моделі з диференційними рівняннями в частинних похідних широко використовуються в теорії автоматичного керування та в вимірювальній техніці. В таких рівняннях містяться частинні похідні від невідомої функції, яка залежить відразу від декількох змінних. Розглянемо диференційне рівняння другого порядку з двома незалежними змінними:

(1)

Подібно до того, як і для звичайних диференційних рівнянь, єдиний розв’язок рівняння (1) можна отримати, задавши додаткові умови. Оскільки тут присутні дві незалежні змінні x та y , то ці умови повинні задаватися для якої-небудь кривої в площині xОy . Вони можуть накладатися на функцію f або (та) на її похідні, залежно від типу рівняння, яке визначає її вигляд і характер зміни.

Розрізняють три типи диференційних рівнянь другого порядку:

– еліптичні, при B2 − 4AC < 0 ;

– параболічні, при B2 − 4AC = 0;

– гіперболічні, при B2 − 4AC > 0.

Рівняння можуть переходити з одного типу до іншого в залежності від значень їх коефіцієнтів.

Еліптичні рівняння описують усталені (стаціонарні) процеси, для них задача ставиться в замкненій області, а в кожній точці границі цієї області задаються граничні умови. Інші два типи рівнянь описують еволюційні процеси. В таких задачах найпоширенішим є випадок, коли на одній частині границі задають граничні умови, а на іншій – початкові.

Приклади деяких диференційних рівнянь у частинних похідних, які описують різні типи задач, наведені в таблиці 1.

Таблиця 1.

Диференційні рівняння в частинних похідних

В таблиці використані загальноприйняті позначення найбільш поширених операторів:

оператор Лапласа

бігармонійний оператор

Існують два методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних: різницевий метод (метод скінченних різниць) і метод скінченних елементів. У сучасній прикладній математиці обидва методи розглядаються як інтерпретації використання загальної теорії різницевих схем до розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних .

В основі методу скінченних елементів лежить варіаційне числення. Диференційне рівняння, яке описує задачу, та відповідні граничні умови використовують для формулювання варіаційної задачі. В методі скінченних елементів фізична задача замінюється її кусково-гладкою моделлю. Цей метод, незважаючи на те, що він вимагає складної постановки задачі, високої кваліфікації та досвіду користувача, не є універсальним (кожний розв’язок застосовується лише для конкретної задачі). Метод скінченних елементів знайшов широке використання для розв’язування спеціальних задач в теоретичній механіці, гідродинаміці, теорії поля, однак, він складний, вимагає серйозної підготовки і знань в конкретній області використання. Тому при розв’язуванні задач автоматики та систем керування частіше використовується різницевий метод.

1. Різницевий метод.

Для числового розв’язування диференційних рівнянь другого порядку в частинних похідних найчастіше використовується двовимірна прямокутна сітка. Центрально-різницеві шаблони, які застосовують на двовимірній квадратній сітці з кроком h , зображеній на рисунку 1 (індекс j надається незалежній змінній y , а i відноситься до x ), можуть бути отримані аналогічно як і в одновимірному випадку.

Рис. 1. Квадратна сітка.

Для зручності позначення f( xi + h, yi ) замінимо на fi+1, j . Користуючись цим позначенням, отримаємо вирази для частинних похідних, з якими доводиться зустрічатися на практиці, й використання яких ілюструється відповідними обчислювальними шаблонами (рисунок 2.):

Рис. 2. Обчислювальні шаблони для похідних.

З цих елементів будуються більш складні обчислювальні шаблони для диференційних рівнянь. Додавання похідних здійснюється суперпозицією відповідних обчислювальних шаблонів. Цим методом конструюються шаблони для Δf і Δ2 f (рисунок 3).

Рис. 3. Обчислювальні шаблони для операторів.

Другі частинні похідні для вузлів, які лежать на границі області, можна записати у вигляді:

Додавши другі похідні, отримаємо :

Застосувавши обчислювальний шаблон до кожного з n вузлів сітки, отримаємо систему з n рівнянь, яка може були лінійною, якщо початкове диференційне рівняння має відповідну структуру. В цьому випадку розв’язування задачі зводиться до розв’язання системи рівнянь такого вигляду:

яка розв’язується найчастіше з використанням ітераційних методів.

Усі наведені тут обчислювальні шаблони мають похибку другого порядку [1]. Можна побудувати більш точні обчислювальні шаблони, якщо взяти до розгляду додаткові вузли. Іноді, щоб звести до мінімуму виникнення похибок, користуються лівими або правими різницями. Часто труднощі, які пов’язані з використанням прямокутної сітки, виникають через границю неправильної конфігурації, яка не проходить через вузли сітки. Розглянемо приклад розв’язування такої задачі для обчислювального шаблону рівняння Лапласа в області, що обмежена довільною кривою, яка зображена на рисунку 4.

Рис. 4. Обчислювальний шаблон для границі неправильної форми.