Міністерство освіти і науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Чисельні методи в інформатиці

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи 7

«Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта»

для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»

Затверджено

На засіданні кафедри АСУ

Протокол №

Львів - 2012

Чисельні методи в інформатиці: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк, Б.І.Балич- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2012.-__ с.

Укладач Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Балич Б.І., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.

Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта.

Порядок роботи:

1. Попереднє опрацювання теоретичного матеріалу.

2. Отримання допуску до виконання лабораторної роботи.

3. Опрацювання типового навчального завдання (прикладів).

4. Створення проекту для виконання індивідуального завдання.

5. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:

• назва роботи;

• мета роботи;

• короткі теоретичні відомості;

• алгоритм розв’язування задачі;

• тексти відповідних модулів проекту;

• аналіз отриманих результатів та висновки.

6. Захист лабораторної роботи.

Короткі теоретичні відомості.

Тільки невелика кількість задач Коші, iнтегровних у явному виглядi, зустрічаються серед задач, якi потрiбно розв’язувати. Тому для розв’язування задач Коші широко використовують чисельні методи з їх реалізацією на комп’ютерах. При цьому особливо важливими є вибір потрібного методу і його програмної реалізації, а також підготування всіх даних, необхідних для роботи комп’ютерної програми.

Теоретичні засади найбiльш уживаних методiв розв’язування задач Кошi для звичайних диференційних рівнянь досить детально висвітленi в літературі, зокрема в [1]. Ми звернемо основну увагу на питания, пов’язані з практичною реалiзацiєю цих методів, для чого наведемо обчислювальнi формули розв’язування задач Коші та оцінки їхньої похибки, а також на6ір індивідуальних задач для практичної реалізаціїна комп’ютерах.

Методичні вказівки можуть бути використані студентами при виконанні індивiдуальних завдань лабораторних робіт із курсу «Чисельнi методи в інформатиці» .

1.Формулювання задачi.

Нехай на вiдрiзку потрiбно знайти розв’язок диференцiйного рiвняння

(1)

який задовольняє таку умову

(2)

Задачу (1)-(2) називають задачею Кошi для звичайногодиференцiйного рівняння першого порядку.

Будемо припускати, що функцiя f(х,у) неперервна та задовольняє умову Лiпшиця за у, тобто виконується

(3)

де L– деяка додатна стала. В цьому випадку задача Кошi має єдиний розв’язок на промiжку

2. Метод Ейлера та його модифiкації.

Розiб’ємо проміжок [а, b], на якому шукаємо розв’язок, на рiвномiрнi вiдрізки причому

Розрахункова формула методу Ейлера має вигляд

(4)

де .У випадку рівномiрного розбиття вiдрізка [а, b] точками отримасмо

Похибка обчислень на кожному кроцi цієї формули має порядок

Метод (4), як частковий випадок, належить до методiв Рунге-Кутта. З другого боку, метод Ейлера належить до іншого класу розрахункових формул – до рiзницевих методів Адамса.

Метод Ейлера є найпростiшим чисельним методом iнтегрування диференційного рівняння. Його недоліком є мала точнiсть. Проте, доведено [1]: якщо права частина F(х,у) рiвняння (4) неперервна, то послідовність (4) при h—>0 на достатньо малому відрізку [а,b] рiвномірно збігається до шуканої iнтегральної кривої . Розглянемо модифікацiї методу Ейлера, а саме: так званий метод Ейлера-Кошi, за яким обчислення наближеного розв’язку проводять так: спочатку вираховується грубе наближення

(5)

а далi знаходять точнiше наближення

(6)

Оцiнку похибки наближеного розв’язку можна одержати за допомогою подвiйного перерахунку: розрахунок проводять з кроками , а похибку точнiшого оцiнюють наближено:

Метод Ейлера-Коші можна ще бiльше уточнити, застосовуючи ітерацiйну обробку кожного знайденого значення , для чого спочатку обчислюють грубе наближення

(7)

а потім будують ітерацiйний процес за формулою

(8)

де S – номер ітерації, , S= 0,1,... Формули (7), (8) – розрахунковi формули методу Ейлера з iтерацiйним уточненням.

Ітераціi продовжують доти, доки два послідовні наближення не збігатимуться із заданою точнiстю. Далі за розв’язок приймають наближене значення .Якщо ж після виконання трьох-чотирьох iтерацій із вибраним значенням h потрібні знаки не співпадають, то тодi слід зменшити крок h.