34. Частица в двумерной потенциальной яме. Вырождение состояний.

Пусть частица движется в двумерной потенциальной яме, ограниченной в пространстве прямоугольником со сторонами и . Внутри ямы потенциальная энергия частицы равна нулю. На границах она возрастает до беск большой величины. Движение квантовой частицы в такой яме можно разложить на два независимых движения- по xи по-y. Волновая функция вследствие этого : . Решение уравнения Шрёдингера для такой ямы представляет собой двумерную стоячую волну. По краям ямы волновая функция обращается в ноль. Внутри имеются max и min.

Уравнение Шредингера: . Получаем: . Разделим на : . Можно записать 2 уравнения: и , . Каждое из них – это уравнение Шредингера для одномерной задачи. Следовательно, и . ; . Преобразуем решение в вид: . и - это условия 2-х стоячих волн (вдоль х и вдоль у).

П оявляется 2 взаимно независимых квантовых числа. Эти значения определяют вид . ; . Отсюда получаем выражение для полной энергии частицы в двумерной яме: . Полная энергия оказывается квантована, как и раньше. Значениям , соответствует низшее состояние частицы в квантовой яме.

. На рисунке – функция в яме.

Вырождение состояний.

1. Общая ситуация: , область прямоугольная.

Е сли . Для любой пары квантовых чисел: .

2. Если , т. е. два различных состояния (разные волновые функции) обладают одной энергией. Такие состояния называются вырожденными. Значения энергии тоже называются вырожденными значениями, или вырожденными энергетическими уровнями. Вырождения появляются с появлением симметрии. В 3-х мерном пространстве: . Состояние будет однозначно описываться тройкой квантовых чисел , . Если возьмем кубическую яму, то произойдет вырождение. Перестановка квантовых чисел будет приводить к одинаковой энергии.

35. Квантовый гармонический осциллятор.

Г армоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы .Потенциальная энергия такой частицы имеете вид . Собственная частота гармонического осциллятора равна , где m-масса частицы. Отсюда . В одномерном случае . Поэтому уравнение Шрёдингера, описывающее стационарные состояния осциллятора имеет вид (2).

Волновые функции, характеризующие состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой яме, и волновые функции квантового гармонического осциллятора имеют много общего: как у волновых функций, так и у плотности вероятности.

Однако есть принципиальное различие, Двигаясь в бесконечно глубокой потенциальной яме, частицы не могут выйти за пределы ямы. В случае осциллятора это ограничение остается лишь для классической частицы. Ее координата не может превышать величину амплитуды колебаний, то есть . В точках происходит изменение движения частицы на противоположное под действие возвращающей силы. Квантовая частица имеет конечную вероятность оказаться в результате своего движения за пределами квадратичной потенциальной ямы.

Уравнение (2) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значения параметра Е равных:

На рис.1 дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. В отличие от классического осциллятора спектр энергий получается квантованным. Величина полной энергии определяется частотой и квантовым числом n.

С низу спектр энергий ограничивается значением . Уровень, соответствующий этому значению энергии, является основным уровнем осциллятора. Два любых соседних уровня разделены одинаковым промежутком . Такое расположение уровней называется эквидестантным. Так как минимальное значение энергии , то квантовый осциллятор в принципе не может находиться в покое. Колебания осциллятора с энергией Гармонический осциллятор Яма с бесконечной энергией называются нулевыми колебаниями. Их существование непосредственно вытекает из принципа неопределенности. Если бы у квантового осциллятора наблюдалось состояние покоя, то при этом частица находилась в точке равновесия. О означает, что неопределенность ее координаты . Тогда неопределенность импульса , согласно принципу Гейзенберга, должна стремиться к бесконечно большой величине. По этой причине осциллятор должен обязательно обладать конечной (не равной нулю) энергией.

Имеется еще одно интересное свойство, связанное с изменение энергии квантового осциллятора. Оказывается, существует определенное правило отбора, которое ограничивает возможность изменения квантового числа n при переходе осциллятора из одного состояния в другое. Согласно этому правилу n может изменяться только на единицу: . Это означает, что энергия осциллятора может изменяться лишь порциями, равными по величине ( величина энергии фотона ). Частица, переходя на более низкий уровень излучает фотон, а поглотив фотон с энергией, необходимой для перехода на более высокий уровень, занимает его.