3.7. Риск, прогноз, нелинейная динамика

Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П.

Введение

В основу статьи положен доклад, сделанный авторами на заседании Президиума РАН 18.09.2000. В статье обсуждаются фундаментальные ограничения на возможность про­гноза поведения сложных систем, установленные нелинейной динамикой в последние деся­тилетия, а также концепция управления рисками и теория самоорганизованной критичности. Приведен ряд примеров, касающихся прогнозирования поведения сложных социально-тех­нологических систем, демонстрирующих новые возможности, открывающиеся в этой об­ласти.

Проблемы прогноза заслуживают внимания специалистов, работающих в различных областях исследований, по двум причинам. Первая заключается в том, что этими пробле­мами многие и очень успешно занимаются в России – и в Академии наук, и в высшей школе. И, на наш взгляд, тот громадный потенциал, который сейчас имеется в нашей стране, ис­пользуется далеко не полностью. Вторая причина связана с тем, что то понимание, которое здесь возникло, относится не только к области прикладной математики. Оно носит доста­точно общий характер и существенно меняет взгляд на многие явления и области исследова­ния.

Дальнейшее изложение удобно разбить на две части. В первой речь пойдет о том, что нового внесла нелинейная динамика в анализ такого информационного процесса как прогноз. В частности, обсуждаются установленные в последние десятилетия фундаменталь­ные ограничения на предсказуемость сложных систем, концепция управления риском, гипо­теза о "человеческих алгоритмах" прогноза. Во второй части приведено несколько примеров, показывающих, как эти идеи применяются при прогнозе поведения сложных социальных систем, а также обращается внимание на новые возможности, открывающиеся в этой сфере.

3.7.1. Предсказуемость и анализ сложных систем

Основные идеи, связанные с прогнозом, можно проиллюстрировать на примере по­казанного на рис. 3.7.1 маятника. Наблюдения авторов за ним показывают, что с вероятно­стью 95 процентов он будет колебаться непериодическим образом. С вероятностью 5 про­центов мы увидим периодическое движение. Это зависит от того импульса, который мы при­дадим ему вначале. Запустим его и посмотрим, что получится.

3.7.1.1. Динамический хаос и фундаментальные ограничения в области прогноза

Правильнее будет сказать, что для данной точности (сколь угодно большой, но конечной) можно всегда указать такой промежуток времени, что для него становится невозможным сделать предсказания. И этот промежуток (и в этом вся соль) не так уж велик.

"Фейнмановские лекции по физике"

До 60‑ых годов предполагалось, что есть два класса процессов. Первые – процессы, которые описываются динамическими системами, где будущее однозначно определяется прошлым. Для них, как думали раньше, у нас есть полная предсказуемость. Великий Лаплас, имея в виду такие системы, говорил (если перевести на наш язык), что, располагая доста­точно мощными компьютерами, мы сможем заглянуть как угодно далеко в будущее и как угодно далеко в прошлое.

Рис 3.7.1 Простейший непериодический маятник, демонстрирующий дина­мический хаос

Чтобы скомпенсировать трение, маятник снабжен магнитиками, а в основа­ние игрушки помещены катушка и батарейка, создающие электромагнитное поле.

Второй класс процессов – это процессы, где будущее не зависит от прошлого. Мы бросаем игральную кость, и выпадает случайная величина, никак не связанная с тем, что вы­падало раньше.

Рис. 3.7.2 Расходимость фазо­вых траекторий в системах с динамиче­ским хаосом

Любая динамическая система определяет траекторию в фазовом про­странстве, например, такую, как пока­зана черной линией. Динамический хаос обусловлен тем, что соседние траекто­рии, показанные бледными линиями, удаляются от нее. Из-за этого малые причины могут иметь большие следст­вия.

В 70‑е годы было понято, что есть третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими системами, как этот маятник. Но, вместе с тем, по­ведение которых может быть предсказано только на небольшой промежуток времени. А дальше исследователи будут вынуждены иметь дело со статистикой. Для этой игрушки можно написать простую линейную модель, которая позволит нам предсказать, в каком по­ложении, например, окажутся маленькие шарики через пять колебаний большого шарика внизу (естественный промежуток здесь – период колебаний большого шарика). Используя современные информационные технологии, можно предсказать, в каком положении ока­жутся они через двадцать колебаний нижнего. Но никакими силами нельзя предсказать их положения через шестьдесят промежутков времени.

В 1963 году Рэй Брэдбери опублико­вал фантастический рассказ, в котором фак­тически сформулировал идею динамического хаоса. В этом рассказе один из организаторов предвыборной кампании после победы своего кандидата отправляется в путешествие во времени. Фирма, организующая такую по­ездку, предлагает охоту на динозавров, кото­рым в ближайшее время суждено умереть. Чтобы не нарушить сложную ткань причинно-следственных связей и не изменить будущее, следует двигаться по специальным тропам. Однако герой не смог выполнить этого усло­вия и нечаянно раздавил золотистую бабочку. Возвратившись назад, он видит, что измени­лись состав атмосферы, правила правописа­ния и итог предвыборной кампании. Едва за­метное движение повалило маленькие кос­тяшки домино, те повалили костяшки по­больше, и, наконец, падение гигантских кос­тяшек привело к катастрофе. Отклонения от исходной траектории, вызванные раздавлен­ной бабочкой, стремительно нарастали (см. рис. 3.7.2). Малые причины имели большие следствия. Математики называют это свойство чувствительностью к начальным данным.

В том же 1963 году мысль о принципиальной ограниченности нашей способности предсказывать (или, как сейчас говорят, о существовании горизонта прогноза, или пределов предсказуемости) даже в мире, который идеально описывается классической механикой, была высказана лауреатом Нобелевской премии Ричардом Фейнманом. Для существования горизонта прогноза не нужно, чтобы "Бог играл в кости", добавляя в уравнения, описываю­щие нашу реальность, какие-то случайные члены. Не надо опускаться на уровень микромира, на котором квантовая механика дает вероятностное описание Вселенной. Объекты, поведе­ние которых мы не можем предсказывать на достаточно большие времена, могут быть очень простыми. Например, такими, как представленный маятник.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял – и тоже в 1963 году – американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремитель­ное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгорит­мов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных (на 2‑3 недели вперед) прогнозов погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы).

Эта модель описывается внешне очень простыми уравнениями

,

Рис. 3.7.3 Аттрактор Лоренца

Такая картина, полученная на компьютере (расчет проводился при r=28, =10, b=8/3), убедила Э. Лоренца, что он открыл новое явление – динамический хаос. Этот клубок траекторий, называемый сейчас аттрактором Лоренца, описывает непериодическое движение с конечным горизонтом прогноза.

где переменная x характеризует поле скоростей, y и z – поле температур жидкости. Здесь r = R/R_c, где R – число Рэлея, а R_c – его критическое значение;  – число Прандтля; b – постоянная, связанная с геометрией задачи.

Компьютерный анализ системы Лоренца привел к принципиальному результату. Этот результат – динамический хаос, т.е. непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

Увиденное Лоренцем показано на рис. 3.7.3. С точки зрения математики, можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в фазовом пространстве. Важнейшая характеристика этого пространства – его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа – количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Например такой, как показан на рис. 3.7.3. Здесь размерность фазового пространства всего 3 (это пространство x, y, z). Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 году предложили название – странный аттрактор.

Пророчество Анри Пуанкаре о том, что в будущем можно будет предсказывать новые физические явления, исходя из общей математической структуры описывающих эти явления уравнений, компьютерные эксперименты превратили в реальность.

Система Лоренца имеет конечный горизонт прогноза. Почему? Можно пояснить это следующим образом. Если мы вновь возьмем две близкие траектории, показанные на рис. 3.7.3, то они расходятся, как на рис. 3.7.2. Одна уходит от второй. Скорость расходимости определяется так называемым ляпуновским показателем, и от этой величины зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз. Можно сказать, что для каждой системы есть свой горизонт прогноза.

Развитие науки показывает, что каждая фундаментальная теория не только давала новые возможности, но и лишала нас иллюзий. Классическая механика лишила иллюзии, что можно построить вечный двигатель первого рода, термодинамика – второго, квантовая механика – что мы можем одновременно сколь угодно точно измерять координату микрочастицы и ее импульс. Теория относительности – что удастся передавать информацию в вакууме со сверхсветовой скоростью. Сегодня нелинейная динамика лишила нас иллюзии глобальной предсказуемости: мы не можем предсказать, начиная с какого-то горизонта прогноза, поведение многих достаточно простых систем и, в частности, этого маятника.

В свое время работа Лоренца была опубликована в метеорологическом журнале, но в течение 10 лет она не была замечена. Метеорологи сегодня полагают, что горизонт прогноза для погоды не превышает трех недель. Т.е. как бы точно мы сейчас ни промеряли параметры атмосферы, предсказать погоду с помощью имеющихся приборов через три недели в данном месте, вообще говоря, невозможно. Горизонт прогноза для состояния океана эксперты оценивают в месяц.

Сейчас многие специалисты по физике Солнца предполагают, что аналогичная ситуация имеет место с Солнцем. Например, известно такое явление, как минимум Маундера, когда в течение почти 70‑ти лет всплесков солнечной активности не было. И возникает вопрос, можем ли мы предсказать следующий минимум аналогичного сорта. Те работы, которые проводятся, показывают, что ляпуновские показатели таковы и горизонт прогноза таков, что этого предсказания на несколько десятилетий сделано быть не может.

Однако нелинейная динамика позволила увидеть не только принципиальные трудности, но и новые замечательные возможности. Обратим внимание на одну из них. Давайте посмотрим, сколько нужно чисел для того, чтобы описать эту систему, этот простейший маятник. Классическая наука говорит, что для того, чтобы описать этот маятник, чисел нужно бесконечно много. В самом деле, маятник, очевидно, подчиняется законам механики, но для того, чтобы такая игрушка вращалась и не останавливалась из-за трения, должно создаваться электромагнитное поле. Поэтому – механика плюс электродинамика, уравнения Максвелла. Формально бесконечно много степеней свободы.

Нелинейная динамика, анализируя системы такого сорта, позволяет устанавливать, сколько переменных необходимо для их описания, сколько переменных нужно для прогнозирования, она помогает выяснить, каким должен быть их мониторинг. Оказывается, что для такой системы нужно не более десятка переменных.

Это открывает совершенно новые возможности. У нас есть формально очень сложная система и нам требуется выделить из нее самое главное. Если раньше, в 60-ые гг., был моден системный анализ, рассматривавший некие общие свойства систем, которые возникают у них, как у целого, то сейчас нам в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН очень нравится слово системный синтез. Такой синтез позволяет из массы переменных извлечь именно то, что нужно для принятия решения.

После того, как было понято, что есть принципиальные ограничения в области прогноза, созданы новые поколения моделей и алгоритмов, прогноз стал индустрией. Сейчас происходит скачок в прогнозировании – скачок, который можно сравнить с тем, что произошло с наступлением эпохи персональных компьютеров. До персональных компьютеров ЭВМ были огромными и дорогими комплексами, которые были по силам только очень крупным фирмам. А после появления персональных компьютеров вычислительная техника стала доступна очень многим. Та же самая революция происходит сейчас в области прогнозов. Это перестало быть наукой, это становится технологией. Если раньше "РЭНД корпорейшн" и несколько других коллективов обеспечивали прогнозами правительство США и еще несколько ведомств, то сейчас даже не очень крупные фирмы имеют лаборатории, которые прогнозируют, лаборатории, как их называют, "проектирования будущего".

Динамический хаос позволил в ряде случаев диагностировать серьезные заболевания по данным об электрической активности с помощью довольно простых компьютерных программ, предложить новые алгоритмы сжатия данных и защиты информации. Экономические прогнозы, опирающиеся на представления о хаосе и странных аттракторах, стали бурно развивающейся областью деятельности. Нельзя не вспомнить о "нелинейных журналах" – "Physica D", "Chaos", "Nonlinearity", "Physical Review E", "Прикладная нелинейная динамика" и многие другие. Оказалось, что есть гораздо больше того, что связывает объекты различных научных дисциплин, по крайней мере, с точки зрения прогноза, чем того, что их разделяет.