Лекции по методам вычислений / GLAVA2

49

z A M E ^ A N I E 1. pOSTOQNNYE Cn O^ENX BYSTRO UBYWA@T. pRIWEDEM NESKOLXKO PERWYH IZ NIH:

z A M E ^ A N I E 2. pRI n = 1 FORMULA gAUSSA SOWPADAET S FORMULOJ SREDNIH PRQMOUGOLXNIKOW.

z A M E ^ A N I E 3. pRI n = 2 W PREDSTAWLENIE OSTATO^NOGO ^LENA FORMULY gAUSSA, KAK I DLQ FORMULY sIMPSONA, WHODIT 4-AQ PROIZWODNAQ, NO KO\FFICIENTY PRI NIH IME@T PROTIWOPOLOVNYE ZNAKI. pO\TOMU ESLI ^ETWERTAQ PROIZWODNAQ FUNKCII SOHRANQET ZNAK NA PROMEVUTKE INTEGRIROWANIQ, TO KWADRATURNYE SUMMY gAUSSA (PRI n = 2) I sIMPSONA DA@T DWUSTORONNIE PRIBLIVENIQ K INTEGRALU. tO VE OTNOSITSQ I K POSTROENNYM NA OSNOWE \TIH FORMUL SOSTAWNYM KWADRATURNYM FORMULAM.

zADA^A 1. dOKAZATX ORTOGONALXNOSTX MNOGO^LENOW ~EBY[EWA NA PROMEVUTKE [¡1; 1] S WESOM w(x) = 1=p1 ¡ x2.

zADA^A 2. pUSTX xk I Ak (k = 1; : : : ; n) — UZLY I KO\FFICIENTY FORMULY GAUSSOWA TIPA, !bk(x) (k = 0; 1; : : : ) — ORTOGONALXNYE POLINOMY, NORMIROWANNYE

ORTOGONALXNAQ MATRICA (AAT = E).

zADA^A 3. iSPOLXZUQ PREDYDU]U@ ZADA^U, POKAZATX, ^TO KO\FFICIENTY KWADRATURNOJ FORMULY GAUSSOWA TIPA MOVNO WY^ISLQTX PO FORMULAM:

j=0 b

x5 iNTEGRIROWANIE PERIODI^ESKIH FUNKCIJ rASSMOTRIM ZADA^U POSTROENIQ KWADRATURNYH FORMUL WIDA

ak=1

50

DLQ INTEGRIROWANIQ 2¼-PERIODI^ESKIH FUNKCIJ. wWIDU PERIODI^NOSTI STOQ]IJ SLEWA INTEGRAL NE ZAWISIT OT a, A UZLY FORMULY MOVNO S^ITATX PRINADLEVA]IMI NEKOTOROMU PROMEVUTKU DLINOJ 2¼:

x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn < x1 + 2¼.

pERIODI^ESKIE FUNKCII ESTESTWENNO PRIBLIVATX TRIGONOMETRI^ESKIMI POLINOMAMI, I MY BUDEM GOWORITX, ^TO

(1) IMEET TRIGONOMETRI^ESKU@ STEPENX TO^NOSTI d, ESLI ONA TO^NA DLQ WSEH TRIGONOMETRI^ESKIH POLINOMOW PORQDKA NE WY[E d I NETO^NA HOTX DLQ ODNOGO POLINOMA PORQDKA d + 1, T.E. ONA TO^NA DLQ FUNKCIJ 1; cos x; sin x; : : : ; cos dx; sin dx I NETO^NA HOTQ BY DLQ ODNOJ IZ FUNKCIJ cos(d + 1)x; sin(d + 1)x.

tEOREMA 1. tRIGONOMETRI^ESKAQ STEPENX TO^NOSTI FORMULY

(1) NE BOLEE, ^EM n ¡ 1.

d O K A Z A T E L X S T W O. fUNKCIQ

Tn(x) = Yn ¡1 ¡ cos(x ¡ xk)¢

k=1

ESTX TRIGONOMETRI^ESKIJ POLINOM PORQDKA n. oN PRINIMAET LI[X NEOTRICATELXNYE ZNA^ENIQ, I INTEGRAL OT NEGO POLOVITELEN. w TO VE WREMQ WO WSEH UZLAH ON OBRA]AETSQ W NULX, I KWADRATURNAQ SUMMA RAWNA NUL@, TAK ^TO (1) NE TO^NA DLQ \TOGO TRIGONOMETRI^ESKOGO POLINOMA. ¥

tEOREMA 2. kWADRATURNAQ FORMULA

Z a+2¼ nX¡1

f(x)dx ¼ h f(® + kh) = Qn(f) (h = 2¼=n) (2)

ak=0

PRI L@BOM ® IMEET TRIGONOMETRI^ESKU@ STEPENX TO^NOSTI n ¡ 1. d O K A Z A T E L X S T W O. dOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO (2) TO^NA DLQ

FUNKCIJ eimx PRI m = 0; : : : ; n ¡ 1. pRI m = 0 (ei0x = 1) INTEGRAL I

51

T.K. eimnh = ei2¼m = 1, A POSKOLXKU 0 < mh < 2¼, TO eimh 6= 1. ¥

z A M E ^ A N I E 1. fORMULU (2) NAZYWA@T FORMULOJ NAIWYS[EJ TRIGONOMETRI^ESKOJ STEPENI TO^NOSTI.

z A M E ^ A N I E 2. kAK UVE OTME^ALOSX, DLQ PERIODI^ESKIH FUNKCIJ INTEGRAL, STOQ]IJ W PRAWOJ ^ASTI (2), NE ZAWISIT OT a. eSLI S^ITATX a = ® ¡ h=2, TO (2) ESTX SOSTAWNAQ FORMULA SREDNIH PRQMOUGOLXNIKOW. eSLI S^ITATX a = ® I PEREPISATX KWADRATURNU@ SUMMU W WIDE

TO (2) PREDSTANET, KAK SOSTAWNAQ FORMULA TRAPECIJ. tAKIM OBRAZOM, PRI INTEGRIROWANII PERIODI^ESKIH FUNKCIJ SOSTAWNYE FORMULY PRQMOUGOLXNIKOW I TRAPECIJ IME@T NAIWYS[U@ TRIGONOMETRI- ^ESKU@ STEPENX TO^NOSTI.