4. Электронная цифровая подпись (см. 8 вопрос). Алгоритм rsa.

Электронная подпись

В аутентификации основными понятиями также являются ключ и математический алгоритм, основанный на хэш-функции. В отличие от криптографии, этот алгоритм используется не для шифрования данных, а для созданию электронной подписи. Подпись формируется таким образом, что вычислить ее, не зная алгоритм и ключ невозможно

Созданная таким образом электронная подпись передается вместе с данными в пункт назначения. Если данные в процессе передачи подверглись изменениям, это сразу же обнаружится: в хосте назначения будет вычислена электронная подпись от полученных данных и после сравнения с полученной подписью подмена будет обнаружена.

Одностороннюю функцию с секретом Диффи и Хэллман предложили использовать для цифровой подписи сообщений, которая позволила бы, например, устанавливать истину при возникновении споров относительно авторства пересылаемых важных документов.

Если E_k - односторонняя функция с секретом, то подписанное сообщение можно представить в виде пары

(р^~, D_k (р^~)), где р^~ - подписываемый документ, a D_k - функция, обратная E_k.

Протоколы или схемы электронной подписи являются основным криптографическим средством обеспечения аутентичности информации:

1. с помощью электронной подписи получатель документа может доказать, что он принадлежит отправителю, при этом автор подписи не сможет оспорить факт отправки подписанного документа;

2. электронную подпись невозможно подделать;

3. только абонент, чья подпись стоит на документе, мог подписать данный документ;

4. электронная подпись является неотъемлемой частью документа, перенести ее на другой документ нельзя;

5. ни противник, ни получатель не могут изменить документ, оставив данный факт незамеченным;

6. любой пользователь, имеющий образец подписи, может удостовериться в подлинности документа.

Для повышения надежности схемы электронной подписи, например для противодействия атакам перехвата и повтора сообщений, фальсификации времени отправки сообщений, ее можно сделать зависимой от неповторяющегося блока данных.

Схема электронной подписи включает в себя:

1. параметр безопасности n, в качестве которого может выступать длина подписи, длина подписываемых сообщений и т. п.;

2. пространство исходных сообщений;

3. максимальное число подписей (signature bound), которые могут быть получены в данной схеме без замены секретной информации;

алгоритм G генерации ключей - полиномиальный (от n) вероятностный алгоритм, формирующий по заданному параметру n пару (k_A^(secret), k_A^(public)), где k_A^(secret) - секретный ключ подписывающего (абонента A); k_A^(public) - соответствующий открытый ключ проверяющего (абонента В);

4. алгоритм S формирования подписи сообщения - полиномиальный вероятностный алгоритм, вырабатывающий по заданным исходному сообщению р^~ и секретному ключу k_A^(secret) подпись s для сообщения р^~;

5. алгоритм V проверки (verification) подписи — полиномиальный вероятност­ный алгоритм, дающий на выходе при заданных сообщению р^~, открытому ключу k_A^(public) и возможной подписи s' либо значение единице, когда подпись сообщения принимается, либо 0, когда подпись отвергается.

Подпись s = S_{kA (secret)} (р^~) называется допустимой для сообщения р^~, если она принимается алгоритмом V c вероятностью, близкой к 1. Подделкой подписи сообщения р^~ называется нахождение противником, не имеющим секретного ключа подписывающего, допустимой подписи для этого сообщения.

В общем случае неинтерактивный протокол электронной подписи имеет следующий вид.

В классической схеме электронной подписи предполагается, что подписывающий (абонент А) знает содержание документа р, который он подписывает; проверяющий (абонент B), зная открытый ключ проверки подписи, может проверить правильность подписи в любое время без какого-либо разрешения или участия претендента А.

Алгоритм RSA

Система RSA, название которой происходит от первых букв фамилий авторов, Р. Риверса, А. Шамира и Л. Адлемана, является наиболее распространенной и изученной криптосистемой с открытым ключом. Она основана на использовании того факта, что легко перемножить два больших простых числа, в то же время крайне трудно разложить на множители их произведение. В результате произведение может быть использовано в качестве элемента открытого ключа зашифрования. Исходные простые числа необходимы для расшифрования, при этом задача их восстановления до сих пор сопротивляется всем атакам криптоаналитиков. Таким образом, имеются хорошие предпосылки для построения од­носторонней функции с секретом.

Рассмотрим некоторые матем-е факты, на которых основан алгоритм. Согласно малой теореме Ферма, если р - простое число, то для любого х, взаимно простого с р, справедливо хp-1 = (mod р);

для любого х справедливо X^р = x(modp).

Функция ф(n) натурального аргумента n, равная количеству положительных целых чисел, меньших п и взаимно простых с r, называется функцией Эйлера. Для нее справедливы следующие соотношения:

φ(1)=1; φ(p^r) = p^r-1(p-1);

φ(ab) - φ(а)φ(b), где р - простое, r, а и b - натуральные, (а, b) = 1.

Эти свойства позволяют легко вычислять ф(n), когда известно разложение n на простые множители. Если натуральное число е удовлетворяет условию (е, φ(n)) = 1, то существует единственное натуральное число d < φ(n), для которого справедливо de ≡ 1 (mod φ(n)).

Пусть n = pq, где р и q - два больших различных простых числа, и (х, φ(n)) = 1. Тогда согласно теореме Эйлера для любого натурального х выполняется сравнение х^ed = x(mod n) и, следовательно, х^ed (mod n) = х при условии x < n.

Итак, выберем два больших различных простых числа р и q и число е, взаимно простое с числом (р - 1)(q -1). Вычислим n = pq и найдем d, такое, что de≡ 1 (mod (р-1)(q-1)).

Тогда рассматриваемая криптосистема выглядит следующим образом.

Криптосистема RSA:

Открытый ключ зашифрования: числа n и е.

Закрытый ключ расшифрования: числа р, q и d.

Алгоритм зашифрования сообщения р^~:

E_k (р^~) = р^~e (mod n) = с.

Алгоритм расшифрования закрытого сообщения с:

D_k(c) = c^d(mod n) =р^~.

Единственный способ найти алгоритм расшифрования D_k при известных е и n состоит в том, чтобы разложить на простые множители число n, найти р и q, а следовательно, и d. Правильный выбор разрядности чисел р и q (первоначально авторы RSA предлагали в качестве р и q использовать не менее чем 40-разрядные десятичные числа) делает задачу факторизации n практически неосуществимой.

Криптосистема с открытым ключом RSA часто используется не только для шифрования, но и для построения схемы электронной подписи. Пусть E_A (x) = x^C mod n - открытая функция зашифрования, а D_A (x) = x^D mod n - секретная функция расшифрования.