Экономический смысл двойственных оценок.

Переменные y_i являются объективно-обусловленными оценками одной единицы ресурса.

Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. То есть, если количество сырья 1 увеличить на единицу (401), то целевая функция увеличится ≈ на 24 ден.ед., а если увеличить количество сырья 2 на одну единицу, то целевая функция увеличится ≈ на 4 ден.ед.

Если двойственные оценки равны нулю, то это означает, что данный ресурс используется не полностью и дальнейшее увеличение его количества не повлияет на оптимальный план выпуска товаров и сумму прибыли.

Таким образом, двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи.

Если целью является расширение производства и повышение эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то анализ двойственных оценок поможет выбрать правильное решение. Прирост различных ресурсов будет давать неодинаковый эффект, т.е. двойственные оценки позволяют с большой точностью выявить «узкие места», сдерживающие рост эффективности производства. С учетом всех конкретных условий задачи двойственные оценки показывают, какие ресурсы более дефицитны, какие менее дефицитны, какие избыточны.

Тема 2. Практика 2.

3. Решение задачи линейного программирования средствами ms Excel

Для аналитического решения ЗЛП разработан специальный алгоритм направленного перебора вершин. Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается. В геометрии есть такое понятие как симплекс. Симплексом тела в n –мерном пространстве – называют совокупность (n+1) его вершин. Так для плоскости при n=2 симплексом будут три вершины треугольника. При n = 3 симплексом будут четыре вершины четырехгранника. С учетом этого понятия аналитический способ решения ЗЛП называют симплекс-методом.

Табличный процессор Excel позволяет упростить расчеты необходимые для решения оптимизационных задач. Рассмотрим на нашем примере.

Алгоритм:

1. ввод условий задачи:

2. Установить курсор в ячейку D3.

Меню Данные - кнопка Поиск решения. Заполнить окно, как показано на рисунке.

3. Нажать кнопку Параметры. С помощью команд, находящихся в этом окне можно вводить условия для решения задач оптимизации всех классов. Команды, используемые по умолчанию, подходят для решения большей части практических задач.

Для решения нашей задачи надо в установить флажки в окне Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать ОК.

4. В окне Поиск решения нажать кнопку Выполнить. Появится окно Результаты поиска решения. Выделите все типы отчетов (отчеты нужны для анализа решения ЗЛП) и нажмите ОК.

5. В ячейках B2 и C2 появятся значения х1 и х2, а в ячейке D3 – максимальное значение целевой функции.

4. Анализ задач линейного программирования в ms Excel

Отчет по результатам состоит из трех таблиц:

• в таблице 1 «Целевая функция» даны сведения о целевой функции: исходное значение и результат;

• в таблице 2 «Изменяемые ячейки» даны значения искомых переменных: исходные и результат решения задачи;

• в таблице 3 «Ограничения» показан результат оптимального решения для ограничений и для граничных условий. В графе значения приведены величины использованного ресурса, в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние указывается «связанное», при неполном использовании ресурса указывается «не связан». Для граничных условий показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц.

В таблице 1 «Изменяемые ячейки» приводятся следующие данные:

• результат решения задачи;

• нормированная стоимость, то есть дополнительные двойственные переменные которые показывают насколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение;

• коэффициенты целевой функции;

• предельное приращение Δс_i целевой функции, при которых сохраняется набор переменных входящих в оптимальное решение.

В таблице 2 «Ограничения» приводятся аналогичные значения для ограничений:

• величина использованных ресурсов;

• теневая цена, то есть двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов b_i на единицу;

• значения приращения ресурсов Δb_i, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Отчет по пределам в нем показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения:

• даны значения х_i в оптимальном решении;

• даны нижние пределы изменения значений х_i;

• указаны значения целевой функции при выпуске данного типа продукции на нижнем пределе и на верхнем пределе.

Задание 1. Проверить в MS Excel, как изменится значение целевой функции при увеличении сырья1 на одну единицу. Изменим значение сырье 1, в ячейке Е4 число 401. В ячейках В2 и С2 - нули. Вновь выполнить Поиск решения. Получим значение целевой функции = 13224.

1 В 1939 г. российский математик Л.В.Канторович (1912-1986) опубликовал первую в мире работу по линейному программированию. Аналогичную работу независимо от него выполнил американский математик Д.Данциг, но опубликовал ее в 1945 г. Общепризнанно, что приоритет создания линейного программирования принадлежит Л.Канторовичу. За эту работу он в 1965 г. получил Ленинскую, а в 1975 г.– Нобелевскую премии по экономике. Л.Канторович – единственный экономист из социалистических стран, ставший лауреатом Нобелевской премии.

2 Если финансы, оборудование, сырье и даже людей (трудовые ресурсы) полагать ресурсами, то начительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов.

3 Для аналитического решения ЗЛП разработан специальный алгоритм направленного перебора вершин. Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается. В геометрии есть такое понятие как симплекс . Симплексом тела в n –мерном пространстве – называют совокупность (n+1) его вершин. Так для плоскости при n=2 симплексом будут три вершины треугольника. При n = 3 симплексом будут четыре вершины четырехгранника. С учетом этого понятия аналитический способ решения ЗЛП называют симплекс-методом.

Теория. Пересечение конечного числа полуплоскостей (если оно не пустое) – называется выпуклым многогранным множеством. Множество называется выпуклым, если вместе с двумя его произвольными точками х1 и х2 оно содержит также отрезок, соединяющий эти точки. Выпуклое множество имеет, т.н. крайние или угловые точки. Например, Крайними точками треугольника являются его вершины, а крайними точками круга являются точки его окружности.

Пусть  - выпуклый многогранник с угловыми точками х₁, х₂, … , х_n, тогда любая его точка может быть представлена как выпуклая линейная комбинация угловых точек.

Симплекс нулевой размерности – точка. Одномерный симплекс – отрезок. Двухмерный симплекс - треугольник. Трехмерный симплекс – тетраэдр.

4 Грубо говоря, двойственная задача - это на 90⁰ повернутая исходная задача. В этой связи полезно усвоить следующую схему соответствия.

12