2. Построить область допустимых решений злп

2.1. Построить прямые, соответствующие каждому из функциональных ограничений задачи (рисунок 1). Эти прямые обозначены на рисунке (1), (2) и (3).

Рисунок 1 - Графическое решение ЗЛП

2.2 Штрихи на прямых указывают полуплоскости, определяемые ограничениями задачи.

2.3 Область допустимых решений включает в себя точки, для которых выполняются все ограничения задачи. В нашем случае область представляет собой пятиугольник (на рисунке обозначен ABCDO и окрашен синим цветом). Координаты любой точки, которая  данному пятиугольнику будут являться допустимым решением ЗЛП.

3. Найти оптимальное решение злп.

3.1 Строим линию уровня целевой функции, на рисунке представлена пунктирной линией.

Строим вектор-градиент целевой функции gradF=(2;4)

3.2 Линию уровня передвигаем параллельно самой себе перпендикулярно вектору-градиенту. Последней точкой многоугольника решений, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет его, является точка C. Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению задачи.

3.3 Вычислим координаты точки С. Она является точкой пересечения прямых (1) и (2). Решив совместно уравнения этих прямых, найдем: , . Подставляя найденные величины в целевую функцию, найдем ее значение в оптимальной точке F(С) = 64..

В линейном программировании доказывается теорема о том, что если оптимальное решение ЗЛП существует, то оно обязательно совпадает с координатами одной из угловых точек симплекса решений системы линейных ограничений (ОДР).

Выполним проверку решения первого примера. Для этого найдем координаты вершин пятиугольника ABCDO (точка о не рассматривается): А(0,10), В(6,10), С(24,4), D(30,0). F(A)= 40, F(B)= 52, F(C) = 64, F(D) = 60.

ОТВЕТ: 1) Для максимизации прибыли компании следует ежедневно выпускать 24 клюшки и 4 шахматных набора. Реализация такого плана обеспечит ежедневную прибыль в размере 64 ден. ед.

2) Чтобы определить вся ли производственная мощность была использования, надо подставить и в уравнения

Участок А: 4x1 + 6x2 = 424+64=120 Участок В: 2x1 + 6x2=2×24+6×4=72 Участок С: x2=4,

таким образом доступная мощность полностью используется на участках А и В, а на участке С остается не использованы 6 н-часов.

Тема 2. Практика 1

Пример 2. Задача о смесях.

Лечебное учреждение закупает два вида мультивитаминных комплексов «Здоровье» и «Долголетие» с содержанием витаминов трех видов. Количество этих витаминов в одном грамме каждого из комплексов, а также необходимая их норма при профилактическом приеме и стоимость одного грамма каждого комплекса отражены в таблице.

Витамины	Количество витамина в одном грамме комплекса		Норма витамина при профилактическом приеме
	«Здоровье»	«Долголетие»
V1	3	1	9
V2	1	2	8
V3	1	6	12
Стоимость одного грамма комплекса	5 ден.ед.	4 ден.ед.

Требуется определить, 1) Сколько граммов мультивитаминных комплексов каждого вида потребуется на один профилактический прием, чтобы были получены все витамины не меньше требуемой нормы и при этом, чтобы стоимость была минимальной?

2) Будут ли соблюдены нормы профилактического приема каждого витамина при оптимальном решении задачи?

Решение.

1. Составим математическую модель задачи, т.е. запишем систему ограничений и целевую функцию.

Введем переменные. Пусть х1 – количество комплекса здоровье (гр), а х2 – количество комплекса «Долголетие» (гр), необходимое для профилактического приема. Целевая функция выражает суммарную стоимость витаминных комплексов, которая должна быть минимальной.

Ограничения по витаминам: