12.3 Параболоид Эллиптический параболоид

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением:

(12.6)

Исследуем эту поверхность методом сечений:

Сечение плоскостью :

- парабола, симметричная относительно оси , с вершиной в точке .С ечение плоскостью :

- парабола, симметричная оси .

Теперь рассмотрим сечение плоскостью, параллельной .

1. При плоскость пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями .

2. При возрастании величины возрастают.

3. При убывании величины убывают. При вырождается в точку .

4. При , будем иметь мнимый эллипс, т.е. плоскость z=h с параболоидом не встречается совсем.

Вывод: Эллиптический параболоид имеет вид выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка О называется вершиной эллиптического параболоида. Числа называются его параметрами.

Эллиптический параболоид можно рассматривать как вращение параболы вокруг оси z.

Гиперболический параболоид

Определение. Поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением: (12.7)

Называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем уравнение (12.7).

Рассмотрим сечение плоскостью , т.е. .

- парабола симметрична относительно оси с вершнами в начале координат. Т еперь рассмотрим сечения (12.7) плоскости, параллельной .

- парабола, ветви которой направлены вниз и симметрично относительно . Все эти параболы будут находится, вершинами на восходящей параболе , и как бы перемещаться вершиной по линии предыдущей параболы. Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными .

- гипербола, симметричная относительно плоскостей .

Вывод: Гиперболический параболоид имеет форму седла, обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат называется вершиной гиперболического параболоида. Числа называются его параметрами.

12.4 Конус

Определение. Поверхность, которая определяется уравнением:

(12.8)

состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом.

Заметим, что (12.8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка .

Т еорема: Если некоторая точка лежит на поверхности (12.8), то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими - вершина. Проведем сечение .

- эллипс с полуосями .

Если , то в сечении окружность и называется круглым конусом. Рассмотрим уравнение: (12.9)

Это уравнение определяет единственную действительную точку . Однако, ввиду аналогии с уравнением (12.8) его часто называют мнимого конуса.

№/п	Рисунок	Название поверхности	Уравнение поверхности
1		Эллипсоид
		Мнимый эллипсоид

3		Однополостный гиперболоид
4		Двухполостный гиперболоид

5		Эллиптический параболоид
6		Гиперболический параболоид

7		Конус
		Мнимый конус