10.5. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Даны две плоскости:

и .

Теорема 10.1: Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и - коллинеарны, то есть, - условие параллельности двух плоскостей.

Теорема 10.2: Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, то есть

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

Лекция 11. Прямая линия и плоскость в пространстве

11.1. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости заданной уравнением находится по формуле:

-угол между двумя плоскостями и .

11.2. Прямая линия в пространстве.

Общее уравнение прямой в пространстве

Прямую линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и задавать её двумя уравнениями этих плоскостей. Пусть в декартовой системе координат задана прямая :

- общее уравнение прямой в пространстве (11.1)

Т.к. любая точка прямой одновременно принадлежит плоскости , то её координаты удовлетворяют системе (11.1). Ясно, что система (11.1) определяет прямую, когда плоскости не параллельны и не совпадают.

11.3. Направляющий вектор прямой

Определение 11.1. Направляющим вектором прямой будем называть любой вектор, отличный от нулевого, который параллелен данной прямой или лежит на ней. Обозначается: .

Пусть точка - начальная точка, т.е. с известными координатами, точка - произвольная точка пространства. Рассмотрим вектор и найдём

его координаты . Точка М будет принадлежать прямой l тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен вектору (т.е. их координаты пропорциональны).

- получили каноническое уравнение прямой, где - направляющий вектор прямой, - известная точка, лежащая на прямой.

11.4. Приведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду

Пусть прямая l задана: (11.2)

Тогда - нормальные векторы плоскостей соответственно.

Чтобы привести общее уравнение прямой к каноническому виду, нужно:

1. знать какую-нибудь точку ;

2. знать направляющий вектор прямой l, т.к. .

Пример 11.1. Привести к каноническому виду уравнение прямой:

1. Положим , тогда ,

По формуле Крамера находим: . Следовательно, точка - начальная точка.

2)

Следовательно, искомое уравнение: .

11.5. Параметрическое уравнение прямой

Пусть l задана каноническим уравнением: . Обозначим равенство трех отношений через t. Преобразовав уравнение, получим:

- параметрическое уравнение прямой (11.3)

- координаты начальной точки ;

- координаты направляющего вектора, t – параметр.

Параметрическое уравнение прямой удобно применять в задачах на нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 11.2. Найти точку пересечения прямой l и плоскости . , .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим эти значения в уравнение плоскости: ,

- параметр определили и подставим его в систему: Искомая точка .

11.6. Уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве

- две точки пространства. По аналогии с прямой на плоскости:

(11.4)

11.7. Угол между двумя прямыми в пространстве

Пусть заданы прямые

Тогда угол определяется по формуле: .

11.8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве

Пусть две прямые заданы каноническим видом. Их направляющие векторы: .

Теорема 11.1: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда т.е. .

Теорема 11.2: Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда , т.е. , т.е. .

11.9. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости

- направляющий вектор, - нормаль к плоскости.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве:

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве:

.