2.5 Выражение одних элементарных функций через другие
Анализ таблиц функций для одной и двух переменных показывает, что между функциями имеются зависимости
yi
=
3-i,
где i = 0, 1,2,3;
(2.1)
yi = 15-i, где i = 0, 1, ... ,15.
На основании этих зависимостей можно записать соотношения, выражающие одни элементарные функции через другие.
Для одной переменной:
0 =
;
1 =
;
х =
.
(2.2)
Для двух переменных:
x1x2
=
;
x1 ← x2
=
;
x1
x2 =
;
x1+x2
=
;
(2.3)
x1
/ x2 =
;
x1 → x2
=
;
(2.4)
или
x1
~ x2 =
;
x1 ↓ x2
=
.
По таблицам соответствия (истинности) можно доказать следующее равенство, получившее наибольшее распространение.
x1
→ x2 =
+x2;
x1 ~ x2
= (
+
x2)( x1
+
).
Из подстановки в 2.3 последнего равенства эквиваленции получим:
x1
x2 =
;
(2.5)
С помощью таблиц истинности легко доказать равенства
x1
+ x2 =
;
x1x2
=
.
(2.6)
Как обобщение 2.6 получаем следующие формулы, названные правилом де Моргана:
x1+x2
+x3+…+ xn
=
;
(2.7)
x1x2x3
·…· xn
=
.
(2.8)
Закон де Моргана построен на принципе двойственности.
Определение: логическое сложение n-переменных равно отрицанию логического умножения отрицаний этих переменных.
Логическое умножение n-переменных равно отрицанию логического сложения отрицаний этих переменных.
Операции + и & являются взаимно двойственными.
Для лучшего усвоения правила де-Моргана важно запомнить следующее:
логический знак между переменными изменяется, а черта общего отрицания делится на все переменные.
,
.
Если теперь над левой и правой частями уравнений поставить общее отрицание, что не изменит знак равенства, то получим следствие правила де-Моргана
,
.
Учтя взаимно уничтожающие двойные отрицания, получим то же определение
,
.
Это можно записать в более сокращенном виде как обобщенный закон дуальности (закон де-Моргана –Шеннона), который выражается:
=
, 
=
,
=
, 
=
.
Правило де Моргана и его следствие широко используется в аналитических преобразованиях логических функций при их минимизации.
2.6 Законы и правила конъюнкции, дизъюнкции и отрицания
Алгебра Буля, основана на логических операциях конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, базируется на следующих основных законах:
- переместительный (свойство коммутативности);
- сочетательный (свойство ассоциативности);
- распределительный (свойство дистрибутивности);
- идемпотенции (свойство сохранять степень и постоянство коэффициента);
-инверсии (правило де Моргана).
В таблице 2.3 приведена интерпретация свойств этих законов для операций булевой алгебры конъюнкции, дизъюнкции и отрицания Следствие 5а получено из 5 путем общего отрицания левой и правой части равенства.
Доказать эти соотношения можно, например, посредством составления таблиц истинности для правой и левой части уравнений.
Используя основные законы, получим ряд очевидных правил (см. таблицу 2.4).
2.7 Аналитические формы представления лф
Для описания ЦА используют аналитическую запись функций в виде логических формул, получаемых из тех же таблиц истинности по установленным правилам их записи. Рассмотрим некоторые определения.
Определение. Дизъюнктивный терм (макстерм) - терм, связывающий переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции. Например: F(x) = + х2 + х3 + х4.
Определение.
Конъюнктивный терм (минтерм) - терм,
связывающий переменные, представленные
в прямой или инверсной форме, знаком
конъюнкции. Например: F(x) = x1 х2
.