Теория вероятностей

Вариант №9

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество .

2. Собираясь в путешествие на воздушном шаре, Пончик положил в каждый из n карманов своего костюма по прянику. Через каждые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепится, и он начинает в случайном порядке свои карманы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что поиск k-го пряника начинается с пустого кармана.

3. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью q₁, второй – с вероятностью q₂ и третий – с q₃. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра устройства наладчиком, хотя бы один узел будет неисправным.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности безотказной работы элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,9, 0,8, 0,9 и 0,7. Найти вероятность безотказной работы (т.е. не будет разрыва цепи), если элементы работают независимо друг от друга.

5. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна 5 мм, а расстояние между их осями равно 20 мм.

6. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

7. В первой урне содержится 7 зеленых и 5 голубых шаров, во второй – 4 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 3 зеленых шаров.

8. Вероятность одного попадания снаряда в цель равна 0,4. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше 0,95?

9. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 7 счетов. Если 4% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой? 2) хотя бы один счет будет с ошибкой?

10. Посажено 250 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равно 0,7. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 190 семян; б) больше 165, но меньше 185 семян.

11. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21 году жизни равна 0,006. Застрахована на один год группа в 1000 человек 20-летнего возраста. Страховой взнос каждого из них составил 150 руб. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 12000 руб. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке?

12. Охотник, имеющий 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/3. Случайная величина – число израсходованных патронов. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Процент людей, купивших новый стиральный порошок после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

xi	0	10	20	30	40	50
pi	0,20	0,25	0,20	0,20	0,10	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу. г) Чему равен ожидаемый процент людей, откликнувшихся на рекламу? д) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,7 и дисперсию D[X] = 0,21.

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти параметр a, плотность f(x), M[X], вероятность P(–10≤X<2), а также квантиль .

5. Масса товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 55% контейнеров имеют чистую массу больше 3,5 т и 35% – имеют массу меньше, чем 2,5 т. найдите среднюю и среднее квадратичное отклонение чистой массы контейнера.

6. Артиллерия сделала 20 выстрелов по объекту. Вероятность попадания одного выстрела равно 0,25. Найти наивероятнейшее число попаданий, вероятность этого числа попаданий, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

7. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

8. Время безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром =0,003 ч^–1. Найти математическое ожидание и дисперсию безотказной работы прибора, а также вероятность того, что прибор проработает 800 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет равномерное распределение R().

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–1	0	1
–2	1/8	1/12	7/24
0	2/24	1/12	1/16
1	3/24	1/12	1/16

Найти: а) M[1–X], D[1–X]; б) M[Y], D[Y]; в) коэффициент корреляции (X,Y); г) M[2X+Y], D[2X+Y].

5. С помощью характеристической функции найти центральный момент первого порядка ₁ и дисперсию D[X] для распределения Лапласа La(a,).

Типовой расчет