Теория вероятностей

Вариант №18

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество .

2. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

3. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности выхода из строя элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,2, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы работают независимо друг от друга.

5. Вася и Лена условились встретиться в определенном месте между 20ч20мин и 20ч50мин. Вася будет ждать ее в течении 20 мин, а Лена 10 мин. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?

6. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на "хорошую", "посредственную" и "плохую" и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация "хорошая"; с вероятностью 0,3, когда ситуация "посредственная", и с вероятностью 0,1, когда ситуация "плохая". Пусть в настоящий момент индекс экономического изменился. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?

7. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

8. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.

9. Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершить ошибку, равна 0,1. а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня. б) Чему равна вероятность того, что у агента будут две продажи в течение дня? в) Чему равна вероятность того, что в течение одного дня не будет продаж? г) Чему равно ожидаемое среднее число продаж в течение дня? Если агент работает пять дней в неделю, какое число продаж он может ожидать?

10. В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.

11. Авиакомпания знает, что 5% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

12. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Случайная величина – число станков, которые не потребуют внимание рабочего в течение часа. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:

xi	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,01	0,09	0,30	0,20	0,20	0,10	0,10

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?

5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=2, x₂=4, x₃=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=0,4 и ее квадрата M[X²]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.

6. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти параметр a, плотность распределения f(x), коэффициент асимметрии ₁, математическое ожидание , вероятность P(–1≤X<3,5), а также квантиль .

5. Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04 кг². Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного грейпфрута.

6. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 30%. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 134?

7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре равна 150. Берется на пробу 2 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

8. Время t расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть =4 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава больше 10 мин, но меньше 25 мин.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет равномерное распределение R(0,1).

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–2	0	1
0	0,3	0	?
4	0,1	0,2	0,1

Найти: а) одномерное распределение случайных величин X и Y; б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, 3XY); в) одномерное распределение случайных величин X+Y и 3XY; г) коэффициент корреляции (X,Y).

5. С помощью характеристической функции найти центральный момент второго порядка ₂ и коэффициент вариации [X] для равномерного распределения R(a,b).

Типовой расчет