Теория вероятностей

Вариант №5

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество .

2. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

3. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела, каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p₁, а для второго – p₂. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок, если выигравшим считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности безотказной работы элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,9, 0,8, 0,9 и 0,7. Найти вероятность безотказной работы (т.е. не будет разрыва цепи), если элементы работают независимо друг от друга.

5. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 4 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,2 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

6. В большом универмаге установлен скрытый "электронный глаз" для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайне мере одно из двух входящих вместе покупателей.

7. В первой урне содержится 3 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.

8. Вероятность одного попадания снаряда в цель равна 1/4. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше 0,9?

9. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?

10. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равна 0,8. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 300; б) больше 310, но меньше 330.

11. В страховой кампании 5 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,005, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?

12. Стрелок, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Случайная величина – число израсходованных патронов. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
pi	0,15	0,20	0,30	0,10	0,10	0,10	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт?

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,8 и дисперсию D[X] =3,36.

6. Найти функцию распределения для распределения Лапласа:

,

его моду, медиану, вероятность P(a–2≤X< a+2) и математическое ожидание M[3–4X].

5. Масса мандаринов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% ящиков имеют чистую массу больше 72 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 65 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.

6. Артиллерия сделала 15 выстрелов по объекту. Вероятность попадания одного выстрела равно 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий, вероятность этого числа попаданий, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

7. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

8. Время безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром =0,003 ч^–1. Найти математическое ожидание и дисперсию безотказной работы прибора, а также вероятность того, что прибор проработает 600 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет показательное распределение Ex().

10. Даны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин X и Y:

X	–1	0	2
Px	0,3	0,1	0,6

Y	0	2
Py	0,3	0,7

Найти закон распределения случайной величины Z=2XY и D[5–XY], а также коэффициент корреляции [X,XY].

5. С помощью характеристической функции найти начальный момент третьего порядка ₃ для нормального распределения N(a,).

Типовой расчет