Теория вероятностей

Вариант №10

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество .

2. В урне имеются n белых, m черных и l красных шаров. Из нее извлекаются с возвращением наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного.

3. Производится стрельба двумя снарядами по четырем бакам с горючим, расположенных рядом друг с другом в одну линию. Каждый снаряд независимо от другого попадает в первый бак с вероятностью p₁, во второй – с вероятностью p₂ и т.д. Для воспламенения баков требуется два попадания в один и тот же бак или по одному попаданию в соседние баки. Найти вероятность воспламенения баков.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности выхода из строя элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,2, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы работают независимо друг от друга.

5. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 5сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

6. Экономист полагает, что в течение активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, а период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста равна 0,5 и низкого роста – равна 0,2. Предположим, что доллар подорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

7. В первой урне содержится 6 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 4 зеленых и 3 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 3 зеленых шаров.

8. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 4% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,99 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.

9. В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?

10. В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 80% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 900 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 700; б) больше 710, но меньше 740.

11. Авиакомпания знает, что 7% людей, делающих предварительный заказ на билет определенного рейса, не будут использовать его. Если авиакомпания продала 270 билетов на самолет, в котором лишь 265 мест, чему равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?

12. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,8, для второго – 0,75, для третьего – 0,7 и для четвертого – 0,65. Случайная величина – число станков, которые не потребуют внимание рабочего в течение часа. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая машинистка, есть случайная величина X, заданная следующим образом:

xi	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,02	0,08	0,25	0,25	0,20	0,15	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на страницу. г) Определите вероятность того, что машинистка сделает не более четырех ошибок на страницу д) Чему равно ожидаемое значение случайной величины X? е) Чему равны дисперсия и среднее квадратичное отклонение?

5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=–2, x₂=1, x₃=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=2,5 и ее квадрата M[X²]=10,3. Найти закон распределения случайной величины X.

6. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения

Найти параметр a, функцию распределения F(x), M[X²+5X+2], D[1–3X], вероятность P(0<X</2) и медиану.

5. Масса арбуза, выращенного в Астраханской области, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 9 кг². Агрономы знают, что масса 75% фруктов меньше, чем 10 кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного арбуза.

6. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 20%. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 94?

7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре равна 130. Берется на пробу 3 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

8. Время t расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть =3 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава больше 15 мин, но меньше 40 мин.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет распределение Вейбулла We(k).

10. Даны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин X и Y:

X	–1	0	2
Px	0,3	0,1	0,6

Y	0	2
Py	0,3	0,7

Найти закон распределения случайной величины Z=2XY и D[5–XY], а также коэффициент корреляции [X,XY].

5. Найти закон распределения соответствующий характеристической функции .

Типовой расчет