3.5 Закон распределения системы случайных дискретных величин

Пусть имеется система случайных величин (X, Y) , закон распределения которой задан таблицей 3.1.

Таблица 3.1

Xi Y j	Y1	Y2	…	Y j	…	Y m
X1	p(x1,y1)	p(x1,y2)		p(x1,yj)		p(x1,ym)
X2	p(x2,y1)	p(x2,y2)		p(x2,yj)		p(x2,ym)
...
X i	p(xi,y1)	p(xi,y2)		p(xi,yj)		p(xi,yj)
…
X n	p(xn,y1)	p(xn,y2)		p(xn,yj)		p(xn,ym)

В ячейках таблицы расположены вероятности того, что случайные величины X и Y примут i – тое и j – тое частные значения, т.е.

Для получения закона распределения случайной величины, входящей в систему пользуются формулами:

, .

Пример 2. Дана система случайных величин (X, Y), закон распределения которой задан таблицей 3.2.

Таблица 3.2

	X1=1	X2=2	X3=3
Y1=2	0,1	0,2	0,1
Y2=4	0,2	0,3	0,1

Требуется определить законы распределения случайных величин X и Y.

Решение.

Определяем вероятности того, что случайная величина X случайная величина примет значения 1;2;3, а случайная величина Y - значения 2;4:

Производим проверку суммированием вероятностей, которая должна быть равна единице по каждой случайной величине, т.е.

Следовательно, законы распределения случайных величин X и Y определены правильно.

3.6 Условные законы распределения случайных величин

Ранее были получены формулы для нахождения плотностей распределения составляющих величин по плотности распределения системы двух случайных величин f(x, y).

В ряде случаев бывает необходимо определять плотность распределения системы двух случайных величин f(x, y) по известным плотностям распределения отдельных случайных величин , входящих в систему.

Для решения этой задачи кроме плотностей распределения отдельных случайных величин необходимо знать их взаимные связи и зависимость между ними. Эта зависимость характеризуется условными законами распределения, которые являются аналогами условных вероятностей.

Условным законом распределения случайной величины X, входящей в систему (X, Y) называют ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y.

Условные функции распределения случайных величин X и Y будем обозначать через F(x/y) и F(y/x) соответственно, а условные плотности распределения – через f(x/y) и F(y/x).

Постановка задачи. Пусть имеется система случайных величин (X, Y), причем известна ее плотность распределения f(x, y). Требуется найти условную плотность распределения f(x/y) случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла определенное значение y.

Для решения задачи рассмотрим элементарный прямоугольник со сторонами d x, d y (рис. 3.8).

Рисунок 3.8 Элементарный прямоугольник со сторонами d x, d y

Обозначим через C – событие попадания случайной точки в прямоугольник C, через A - событие попадания случайной точки в полосу A, а через B - событие попадания случайной точки в полосу B.

Так как событие C является произведением событий A и B, поскольку может произойти только при появлении и события A и события B, то вероятность события C можно определить с помощью теоремы произведения зависимых событий, т.е.

Откуда , но и .

Тогда . Разделив обе части этого равенства на , получим . В этом выражении отношение , так как оно представляет собой количество условной вероятности, приходящейся на единицу длины случайной величины X, т.е. является условной плотностью распределения случайной величины X, при условии, что случайная величина Y приняла определенное значение y.