Электрические цепи синусоидального тока

Токи, напряжения и ЭДС, значения которых периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют синусоидальными (гармоническими). По сравнению с постоянным током синусоидальный имеет ряд преимуществ. В частности, производство, передача и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока относительно просто преобразовывать форму напряжения, а также создавать трехфазные системы напряжения. Синусоидальные токи широко используют в радио-, связной и контрольно-измерительной технике и в других областях.

В зависимости от типа решаемой задачи синусоидальные величины представляют:

Синусоидальные ЭДС, напряжение и ток можно задать с помощью вещественных функций времени (в виде аналитических выражений):

где е, u, i - соответственно мгновенные значения ЭДС, напряжения, тока; t+e, t+u, t+i - аргументы (фазы) синусоидальных функций.

Для расчета электрических цепей аналитические выражения синусоидальных величин неудобны, т. к. алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т. д.) с тригонометрическими функциями приводят к громоздким вычислениям.

Графическое представление синусоидальных величин в виде временной диаграммы (рис. 3.1, а) достаточно наглядно, но из-за сложности построения синусоид и операций с ними применяется сравнительно редко. При построении временной диаграммы за аргумент синусоидальной функции, например, напряжения u(t) принимают время t (чему соответствуют период T и начальное время t0 = u / ) или угол t (чему соответствуют период T = 2 и начальная фаза u в радианах) (см. рис. 3.1, а). Однако для большей наглядности угол u часто выражают в градусах. Тогда аргумент t также переводят в градусы (напомним, что 1 рад  57,3). В этом случае период составляет 360.

Представление синусоидальных функций при помощи векторов (векторных диаграмм) позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между электрическими величинами в цепях синусоидального тока и широко используется при анализе физических процессов и выводе основных соотношений. Векторная диаграмма (ВД) - это совокупность векторов ЭДС, напряжения и тока, изображающих на плоскости синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой величины. В прямоугольной системе координат (оси x, y) векторы обозначают соответствующими буквами, подчеркнутыми снизу: векторы амплитуды ЭДС Em, напряжения Um, тока Im и т.д. (рис. 3.1, б). Длина, например, вектора амплитуды тока Im должен быть равна (в соответствующем масштабе) амплитуде тока Im, а угол наклона к оси абсцисс - его начальной фазе i . В этом случае проекция вектора тока I_msin_i на ось ординат равна мгновенному значению тока в момент времени t = 0, т. е. Im sin i (см. рис. 3.1, б). Если гармонические колебания напряжения и тока ветви или на входе цепи имеют одну и ту же частоту , то соответствующие этим колебаниям векторы Um и Im вращаются с одинаковой частотой  вокруг начала координат против направления вращения часовой стрелки. За время t векторы Um и Im повернуться на угол t относительно начального положения, так что их углы наклона к оси абсцисс станут равными (t+u) и (t+i), а проекции векторов Um и Im на ось ординат - u(t) = Umsin(t + u) и i(t) = Imsin(t + i). Однако, угол сдвига фаз  = u -i между ними (см. рис. 3.1, б) остаётся неизменным, поэтому при построении векторной диаграммы векторы обычно изображают не вращающимися, а неподвижными для момента времени t = 0 (t = 0), т. к. взаимное расположение векторов на плоскости зависит не от фаз (начальных фаз), а от угла сдвига фаз . Таким образом, векторы отображают синусоидальные функции, а операции (сложение, вычитание и т. д.) с векторами отображают соответствующие операции с синусоидальными функциями. Отметим, что неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальных функций: амплитуды и начальные фазы. Третий параметр - угловая частота ω - должен быть известен.

Для характеристики синусоидальных функций времени используют следующие параметры:

Первое слагаемое в (3.30) есть напряжение u_R на резисторе, амплитуда которого U_mR = RI_m (I_m = U_mR/R), а сдвиг фаз между напряжением u_R и током i_R

т. е. ток i_R в резисторе совпадает по фазе с напряжением u_R (рис. 3.15, б и в ).

Во втором слагаемом (u_L) уравнения (3.30) амплитуда U_mL = ωLI_m. Откуда амплитуда тока

где X_L = ωL = 2L - реактивное индуктивное сопротивление (в омах) индуктивной катушки, прямо пропорциональное частоте ω. При частоте ω = 0 (постоянный ток) индуктивное сопротивление X_L = 0, т. е. при постоянном токе элемент L как бы закорочен, а при ω -> ∞, сопротивление X_L -> ∞, т. е. ветвь с индуктивным элементом как бы разомкнута (ток в ней равен нулю).

- реактивное ёмкостное сопротивление, обратно пропорциональное частоте ω. При частоте ω = 0 (постоянный ток) ёмкостное сопротивление X_C -> ∞, т. е. ветвь с ёмкостным элементом при постоянном токе как бы разомкнута (ток в ней равен нулю), а при частоте ω  ∞ ёмкостное сопротивление X_C  0.

Сдвиг фаз между напряжением u_C(t) и током i_C(t) в ёмкостном элементе (рис. 3.22, а)

<>

т. е. ток i_C(t) в ёмкостном элементе опережает напряжение u_C(t) по фазе на угол π/2 (рис. 3.22, б и в).

А нализируя мгновенную мощность (рис. 3.31, а) в резистивном элементе R, т. е. , замечаем, что она знакоположительная функция. Это означает, что электрическая энергия источника необратимо преобразуется в элементе R в тепловую энергию. Такую мощность называют активной и измеряют в ваттах [Вт].

Степень необратимого преобразования энергии оценивают средним значением мгновенной мощности р(t) за период T и обозначают буквой P:                 С другой стороны (см. (3.54))

        Примечание. Напомним, что интеграл от гармонических функций sint, cost, cos2t, cos(t-), cos(2t-) и т. д. за период Т равен нулю.

Итак, активная мощность цепи си­ну­соидального тока есть среднее значение общей мощности р(t) за период T. Она равна произведению действующих значений приложенного к цепи напряжения U и тока I, умноженному на cosφ, т. е.

Анализ мгновенной мощности в индуктивном элементе L       п оказывает, что это знакопеременная функция, изменяющаяся с двойной частотой по отношению к частоте изменения напряжения uL и тока iL в цепи (рис. 3.32, б). Среднее значение мощности за период T равно нулю.

В индуктивном элементе в первую четверть периода T (см. рис. 3.32, а) напряжение u_L и ток i_L имеют знак плюс, поэтому мощность , т. е. индуктивный элемент потребляет электрическую энергию источника и преобразовывает её в магнитную, накапливая её в магнитном поле катушки. Во вторую четверть периода напряжение u_L и ток i_L имеют противоположные знаки, поэтому мощность . В это время накопленная магнитная энергия возвращается источнику, преобразовываясь в электрическую энергию. В третьей четверти происходит накопление энергии в магнитном поле элемента L, в четвертой - её возврат источнику энергии.

Интенсивность преобразования электрической энергии источника в магнитную в элементе L и наоборот оценивается реактивной индуктивной мощностью +Q_L, которая равна амплитуде мощности р_L (см. рис. 3.32, б), всегда берётся со знаком плюс и измеряется в варах (вольт-ампер реактивный), т. е.

А нализируя мгновенную мощность в ёмкостном элементе       заключаем, что это знакопеременная функция времени (рис. 3.33, б), изменяющаяся с частотой 2 и находящаяся в противофазе с реактивной индуктивной мощностью р_L(t) (см. рис. 3.32, б).

Среднее значение мощности р_C(t) за период T равно нулю.

В ёмкостном элементе в первую четверть периода T напряжение u_C и ток i_C имеют разные знаки (см. рис. 3.33, а), что означает, что ёмкостный элемент возвращает накопленную в электрическом поле конденсатора электрическую энергию источнику (конденсатор разряжается). Во вторую четверть периода ток i_C и напряжение u_C имеют одинаковое направление. В этом случае емкостный элемент (конденсатор) потребляет энергию источника и накапливает её в электрическом поле (конденсатор заряжается). В третью четверть периода накопленная в электрическом поле конденсатора энергия возвращается источнику, в четвертую - конденсатор вновь заряжается (потребляет энергию источника).

Интенсивность преобразования энергии в конденсаторе оценивается реактивной ёмкостной мощностью -Q_C, которая равна амплитуде р_C (см. рис. 3.33, б), всегда берётся со знаком минус и измеряется в варах, т. е.

От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изображая векторы на комплексной плоскости с осями координат: Re - ось действительных чисел и величин и Im - ось мнимых чисел и величин. Любая точка на комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а - координата точки по оси действительны чисел; b - по оси мнимых чисел.

Запишем соответствие синусоидального напряжения и его комплекса:

где Um = Um e^ju - комплексная амплитуда напряжения, не зависящая от времени (t = 0); j = = e^{j /2} - мнимая единица; Um и u - модуль и аргумент комплексной амплитуды напряжения Um при t = 0; ωt + u - аргумент комплекса амплитуды напряжения при t ≠ 0. Отметим, что модулем комплексной амплитуды напряжения является амплитуда Um, а аргументом - начальная фаза u синусоидального напряжения u(t).

Итак, вектор амплитуды напряжения, вращающийся с частотой ω против хода часовой стрелки в комплексной плоскости Re-Im (рис. 3.9, б), состоит из комплексной амплитуды Um = Um e^ju , не зависящей от времени, и множителя e^jωt; причем умножение вектора Um на множитель e^jωt означает его поворот на угол ωt в положительном направлении (рис. 3.8, б), в то время как при его умножении на множитель e^-jωt вектор Um нужно повернуть на угол ωt по ходу часовой стрелки.

Второй множитель в выражении (3.8) - экспонента e^jωt - оператор вращения, имеющий модуль, равный единице, и аргумент ωt, линейно нарастающий во времени с угловой частотой ω. Геометрически экспоненту e^jωt изображают единичным вектором, вращающимся с постоянной угловой частотой ω против хода часовой стрелки (рис. 3.9, а).

Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем комплекс амплитуды напряжения в тригонометрической форме (рис. 3.9, б):

Соотношение (3.10) показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = Umsin(ωt + u) есть проекция вращающегося вектора на мнимую ось, или есть мнимая часть (без j) комплексной амплитуды напряжения, т. к.

а косинусоидальная функция напряжения u(t) = Umcos(ωt + u) есть проекция вращающегося вектора на действительную ось, или действительная часть комплексной амплитуды напряжения, т. к.

Например, u = 10 sin(ωt + 45°) где - комплексная амплитуда напряжения.

Поделив комплексную амплитуду напряжения на , получим комплекс действующего значения напряжения или комплекс напряжения:

По аналогии запишем комплекс тока и комплекс ЭДС .

Например, ток i = 14,1sin(314 t - 30°) А A.

Как можно заметить, обратный переход от комплексов к синусоидальным функциям осуществляют следующим образом:

Запишем гармонический ток i(t), его производную и интеграл по времени во временной области и их мгновенные комплексы в комплексной плоскости:

функция тока

производная функции тока

т. е. производная комплексной функции тока равна комплексу тока, умноженной на jω. Так как j = e^j/2, то операция дифференцирования комплекса функции тока приводит к увеличению его модуля в ω раз и повороту вектора в комплексной плоскости на угол /2 в положительном направлении;

интеграл функции тока

т. е. операция интегрирования комплекса тока соответствует его делению на ω и повороту вектора в комплексной плоскости по ходу часовой стрелки на угол /2.

Полученные соотношения будут использованы при выводе компонентных уравнений пассивных элементов электрических цепей и при изображении векторных диаграмм напряжений и токов в комплексной плоскости.

При анализе установившихся процессов в сложной электрической цепи гармонические функции изображают комплексными числами, что позволяет перейти от интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений токов и ЭДС, к алгебраическим уравнениям, составленным для комплексов токов и ЭДС.

При этом комплексными числами изображаются не только гармонические ЭДС, токи и напряжения, но и параметры R, L и C цепи. Решив систему комплексных алгебраических уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа, метода узловых напряжений, метода контурных токов и др., рассмотренных при анализе цепей постоянного тока, находят комплексные амплитуды (или комплексные действующие значения) токов или напряжений ветвей цепи.

Этот метод называют также методом комплексных амплитуд или символическим потому, что мгновенные токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами

Широкое применение комплексного метода расчёта цепей синусоидального тока в установившихся режимах объясняется следующими соображениями: а) метод предельно формализован, что упрощает расчёт электрических цепей гармонического тока сложной конфигурации; б) рассмотренные в теме 2 методы расчёта цепей постоянного тока (ЗК, МУН, МКТ, МЭГ и др.) применимы к расчёту цепей синусоидального тока комплексным методом. По внешним признакам они очень схожи: сохраняются все правила составления систем уравнений, однако при их записи посредством комплексных чисел используют комплексные соп­ротивления Zk ветвей цепи (вместо сопротивлений Rk), а вместо электрических величин (ЭДС E, напряжения U, тока I) - их комплексы: E, U, I; в) посредством комплексного метода рассчитывают частотные зависимости (характеристики) электрических величин.

Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим комплексным сопротивлением Z_э = Z_эe^jφ - комплексным числом, равным отношению комплексного напряжения на зажимах данного элемента к комплексному току этого элемента при t = 0, т. е.

В табл. 7.2…табл. 7.4 приведены компонентные уравнения и комплексные сопротивления элементов R, L и С . Для сравнения в таблицах приведена также запись компонентных уравнений пассивных элементов для схем замещения во временной области.

Компонентное уравнение и сопротивление элемента R в комплексной форме

Компонентное уравнение и сопротивление элемента L в комплексной форме

Компонентное уравнение и сопротивление элемента С в комплексной форме

Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S цепи, а аргумент - углу сдвига фаз φ между током и напряжением на её входе:

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической S = Scosφ + jSsinφ , устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощность цепи

С учетом (3.82) и (3.83) выражение (3.81) можно записать следующим образом:           S = P + jQ.

Следовательно, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи P, а мнимая - реактивной Q, причем если имеем перед символом j знак минус, то это реактивная ёмкостная мощность - QС, а если знак плюс - реактивная индуктивная мощность + QL.

В §3.4.1 найдены выражения мощностей участка цепи с током i = Imsin(ωt + i) и напряжением на зажимах u = Umsin(ωt + u):      P = UIcos(u - i) = UIcosφ [Bт]; Q = UIsin(u - i) = UIsinφ [вар];

Подставив в (3.81) выражения (3.84), получим

где - комплексно-сопряжённый ток.

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплексного напряжения цепи U на комплексно-сопряженный ток :

где S = UI - полная мощность цепи.

Комплексному числу S можно поставить в соответствие отрезок S, проекции которого на оси действительных и мнимых чисел равны Р и Q.

Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной S, и катетами Р и Q называют треугольник мощностей (рис. 3.60).

К оэффициент мощности cosφ = P/S (φ = arctgQ/P) характеризует степень приближения активной мощности нагрузки к максимальному значению, равному полной мощности S = UI источника энергии. Очевидно, что наивысшее значение (cosφ = 1) коэффициент мощности имеет при чисто активном характере нагрузки.