Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Факультет «Информатика и системы управления»
Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»
Домашнее задание по дисциплине
«Исследование операций»
1
(№ задачи)
16
(№ варианта)
11
(количество листов)
Выполнил:
студент гр. ИУ5-54 Пастернак А.Е.
«___»____________2012 г.
______________
Принял:
преподаватель каф. ИУ5 Чистов В.В.
«___»____________2012 г.
______________
Москва – 2012
Условие задачи
Для производства товаров Т1 и Т2 имеются ресурсы R1 и R2 в количестве B1 и B2. Для производства единицы товара T(j) необходимо a(i,j) ресурсов R(i). Чистая прибыль, получаемая от реализации единицы товара T(j) равна Q(j). Определить план производства товаров Т1 и Т2, чтобы прибыль была наибольшей, решая задачу графически и аналитически. Записать двойственную задачу и решить её графически и аналитически.
вариант |
a (1,1) |
a (1,2) |
a (2,1) |
a (2,2) |
b(1) |
b(2) |
q(1) |
q(2) |
16 |
2 |
1 |
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
Решение прямой задачи
Пусть х1 – объем производства товара Т1, х2 – объем производства товара Т2,
тогда математическая модель задачи имеет вид:
2
х1
+ х2 ≤ 2,
х1 + 3х2 ≤ 3,
х1, х2 ≥ 0.
F(х1, x2) = 2х1 + 3х2 → max.
Графический способ
Построим
область допустимых решений, т.е. решим
графически систему неравенств. Для
этого построим каждую прямую и определим
полуплоскости, заданные неравенствами.
Обозначим границы области многоугольника
решений ОАВС. Рассмотрим целевую функцию
задачи F(х1, x2)
= 2х1 + 3х2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 1: 2х1 + 3х2 = 1. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике это прямая песочного цвета.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, которая представляет собой многоугольник ОАВС, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам системы ограничений задачи.
Прямая F(x1, x2) = const пересекает область в точке В. Так как точка В получена в результате пересечения прямых 1 и 2, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2х1 + х2 = 2,
х1 + 3х2 = 3.
Решив систему уравнений, получим: x1 = 0.6, x2 = 0.8, откуда найдем максимальное значение целевой функции: Fmax = F(0.6, 0.8) = 2 * 0.6 + 3 * 0.8 = 3.6.
Поиск решения в ms Excel 2007
Значения х1 и х2 совпадают с графическим методом решения. Это наибольшая прибыль при производстве товара количеством Т1 = х1 = 0.6 и Т2 = х2 = 0.8.