Аналитический способ (симплекс-метод)
Запишем задачу в каноническом виде:
2
х1
+ х2 + х3 = 2,
х1 + 3х2 + х4 = 3,
х1, х2, х3, х4 ≥ 0.
F(х1, x2) = 2х1 + 3х2 → max
Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
γ |
|
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
|
3 |
2 |
1 |
2 |
|
|
4 |
1 |
3 |
3 |
|
Первая итерация (k = 1). Вычислим текущее допустимое решение: x1 = x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3, F = 0.
Так как все коэффициенты при свободных переменных положительны (в общем случае достаточно и одного такого положительного коэффициента), то найденное решение не является оптимальным. Улучшим найденное решение.
В соответствии с алгоритмом найдем е-строку и s-столбец. e-строке будет соответствовать максимальный положительный коэффициент при свободной переменной, т. е. е = 3. Для определения s-строки необходимо, прежде всего, рассчитать столбец . Результаты расчетов представлены ниже:
|
|
|
e |
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
γ |
|
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
|
3 |
2 |
1 |
2 |
2 ÷ 1 = 2 |
s |
4 |
1 |
3 |
3 |
3 ÷ 3 = 1 - min |
Тогда очевидно, что на данной итерации индекс s-строки равен 3, т. е. s = 4.
Теперь произведем замену e-столбца и s-строки. В результате получим следующую симплекс-таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
0 |
γ |
|
0 |
2 – 1/3 * 3 = 1 |
-1 |
0 – 1 * 3 = -3 |
2 |
|
3 |
2 – 1/3 * 1 = 5/3 |
-1/3 |
2 – 1 * 1 = 1 |
|
|
2 |
1/3 |
1/3 |
1 |
|
Вторая итерация (k = 2). Вычислим текущее допустимое решение: x1 = x4 = 0, x3 = 1, x2 = 1, F = |-3|.
Так как один из коэффициентов при свободных переменных положителен, то найденное решение не является оптимальным. Улучшим найденное решение.
В соответствии с алгоритмом найдем е-строку и s-столбец. е = 3. Для определения s-строки необходимо, прежде всего, рассчитать столбец . Результаты расчетов представлены ниже:
|
|
e |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
0 |
γ |
|
0 |
1 |
-1 |
-3 |
2 |
s |
3 |
5/3 |
-1/3 |
1 |
1 ÷ 5/3 = 3/5 - min |
|
2 |
1/3 |
1/3 |
1 |
1 ÷ 1/3 = 3 |
Тогда очевидно, что на данной итерации индекс s-строки равен 2, т. е. s=3.
Теперь произведем замену e-столбца и s-строки. В результате получим следующую симплекс-таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
0 |
γ |
|
0 |
-3/5 |
-1 – (-1/5) * 1 = -4/5 |
-3 – 3/5 * 1 = -18/5 |
3 |
|
1 |
3/5 |
-1/5 |
3/5 |
|
|
2 |
-1/5 |
1/3 – (-1/5) * 1/3 = 6/15 |
1 – 3/5 * 1/3 = 4/5 |
|
Третья итерация (k = 3). Вычислим текущее допустимое решение: x3 = x4 = 0, x1 = 3/5, x2 = 4/5, F = |-18/5|.
Так все коэффициенты при свободных переменных отрицательны, то найденное решение является единственным оптимальным решением данной задачи. Улучшить найденное решение не возможно.
Значит, Fmax = F(0.6, 0.8) = 3.6. Получили тот же ответ.