Р О З Д І Л 1

МЕТОДИ МІНІМІЗАЦІЇ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.

§ 1. Постановка задачі.

Нехай - числова вісь, – деяка множина з , – функція, визначена на . Розглянемо задачу мінімізації функції на множині . Спочатку нагадаємо деякі означення з класичного математичного аналізу.

Означення 1. Точку називають точкою мінімуму функції на множині , якщо для будь-яких . Величину називають найменшим або мінімальним значенням на і позначають . Множину всіх точок мінімуму на позначатимемо . Так визначена точка мінімуму є, більш точно, точкою глобального мінімуму або точкою абсолютного мінімуму

Означення 2. Точка називається точкою локального мінімуму функції на множині , якщо існує число таке, що для будь-яких

В залежності від властивостей множини і функції множина може містити одну, декілька, нескінченно багато точок, а також можливі випадки, коли .

Приклад 1.. Функція на приймає своє найменше значення рівне нулю, в усіх точках відрізка . Якщо , то містить одну точку ; якщо , то .

Рис 1.

У тих випадках, коли , природним узагальненням поняття найменшого значення функції є поняття нижньої грані функції.

Означення 3. Функція називається обмеженою знизу на множині , якщо існує число таке, що для будь-яких . Функція не обмежена знизу на , якщо існує послідовність , для якої .

Означення 4. Нехай функція обмежена знизу на множині . Тоді число називають нижньою гранню на , якщо

1) при будь-яких ;

2) для довільного як завгодно малого числа знайдеться точка , для якої .

Нижню грань на позначають через . Якщо функція необмежена знизу на , то в якості нижньої грані на приймається .

Якщо , то, очевидно, нижня грань на співпадає з найменшим значенням цієї функції на . У цьому випадку кажуть, що функція на досягає своєї нижньої грані.

Означення 5. Послідовність називається мінімізаційною для функції на , якщо .

Означення 6. Під задачею мінімізації функції на розумітимемо наступне:

1. визначити величину ;

2. якщо , то знайти хоча б одну точку ;

3. якщо , то побудувати мінімізаційну послідовність .

Коротко задачу мінімізації функції на множині будемо записувати наступним чином:

Виділимо спеціальний клас функцій, для яких .

Означення 7. Функція називається унімодальною на відрізку , якщо вона неперервна на і існують числа , такі, що

1. монотонно спадає при ;

2. монотонно зростає при ;

3. , при , так що .

Випадки, коли один із відрізків або два одночасно вироджуються в точку, можливі. Якщо , то є строго унімодальною на .

Клас функцій , унімодальних на відрізку позначимо через . Для перевірки унімодальності функції на на практиці використовують такі достатні умови:

1) якщо і не спадає на , то – унімодальна на ;

2. якщо і для будь яких , то –унімодальна на .

Рис 2. Рис 3.

Рис 4. Рис 5.

Рис 6.

Приклад 2. Дослідимо на унімодальність функцію

Розв’язування. Оскільки і, як легко бачити , при , то – унімодальна функція на .

Головна властивість функцій, унімодальних на деякому відрізку, полягає в тому, що всі точки локального мінімуму цієї функції є її точками глобального мінімуму. Ця властивість є в основі всіх розроблених числових методів мінімізації унімодальних функцій.