4. Передавальна функція системи

Визначимо передавальну функцію системи.

Для розімкненого каналу (системи):

де – передавальна ланка обчислювального пристрою =

– передавальна функція (ПФ) ЦАП;

– ПФ підсилювача потужності;

– ПФ ДПС;

– ПФ знижувального редуктора;

– ПФ дротяного потенціометра;

- ПФ АЦП.

Підставивши всі визначені передавальні функції в одну, будемо мати:

Для замкнутої системи :

,

Для замкнутої системи відносно похибки:

.

Для того, щоб виконати z-перетворення кожної з передавальних функцій системи, необхідно розкласти кожну функцію на прості дроби. Оскільки система має у своєму складі запізнювальну ланку, а саме її ПФ , то при розкладанні такої функціі у степеневий ряд можна отримати нескінченне число коренів, які в свою чергу будуть прямувати до нуля. Тому достатньо обмежитися максимальним показником ступеня нашої передавальної – 4. Отже, для здійснення z – перетворення для ПФ замкненої системи беремо функцію виду:

Приведемо дану ПФ до суми простих дробів у вигляді:

Переходячи від до і приводячи наше рівняння до спільного знаменника, будемо мати:

Далі розкриваємо дужки і зводимо все до полінома четвертого ступеня виду

Звідки складаємо систему рівнянь:

Розв’язуючи цю систему рівнянь за допомогою програми MathCAD2000, отримуємо відповідь:

Тоді

Дискретна ПФ розімкненої системи із запізненням визначається наступною формулою :

.

Використавши таблицю z - перетворень отримаємо :

(Для прикладу розглянемо перетворення функції . Із таблиці z – перетворення знаходимо, що при загальному вигляді У нашому випадку , Т – період дискретизації =0,00978 (визначено вище). Тоді отримаємо наступну z – перетворену функцію: і т.д. )

Спростивши вираз (приводячи все до спільного знаменника), отримаємо:

Визначимо дискретну передавальну функцію замкненої системи:

.

Для цього нам спочатку потрібно знайти ПФ неперервної частини, тобто привести її до можливості z – перетворення.

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, перетворимо дану ПФ до суми простих дробів:

Приведемо до спільного знаменника:

Далі розкриваємо дужки і зводимо все до полінома третього ступеня виду

Звідки складаємо систему рівнянь:

Розв’язуючи цю систему рівнянь за допомогою програми MathCAD2000, отримуємо відповідь:

Тоді, підставляючи всі отримані дані, будемо мати:

Дискретна передавальна функція замкненої системи із запізненням визначається також за допомогою таблиці z – перетворень:

Визначимо дискретну ПФ ЗЗ:

ПФ неперервної функції:

Виконаємо z – перетворення:

Тоді дискретна ПФ замкненої системи визначиться так:

5. Визначення стійкості системи

5.1. Критерій Гурвіца

ПФ замкненої системи має вигляд:

Система стійка, якщо діагональний визначник Гурвіца та його мінори більші 0. Визначник Гурвіца складають із коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи.

У нашому випадку знаменник ПФ замкненої системи містить член запізнювальної ланки . Тому з достатньою точністю можна розкласти число у степеневий ряд. Візьмемо три перших члени ряду:

Тоді, враховуючи таку підстановку, отримаємо поліном знаменника вигляду:

Тут

і т.д.

Висновок: система стійка за критерієм Гурвіца.