Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині

Як випливає з теореми (про проміжне значення), функція неперервна на замкнутій обмеженій множині D , досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Ці значення вона може приймати як у внутрішніх точках множини D (кожна така точка є точкою екстремуму функції, в цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідно спеціальне дослідження межових точок множини D .

Приклад: Знайти найбільше та найменше значення функції

z = х³ + y² – 3xy в області, обмеженій прямими х = -1, х = 2, у = -1, у = 3-х

• 1. Дослідимо поводження функції всере­дині області KLMP.

Знайдемо перші частинні похідні функції z = х³ + y² – 3xy :

Прирівнюючи їх нулю , одержимо стаціонарні точки О(0;0) та Е(l;l).

2. Дослідимо поводження функції на межі обла­сті. Відрізок KL має рівняння у = -1,

Підставивши у = -1 у задану функцію,одержимо

Треба знайти найбільше та наймен­ше значення цієї функції на відрізку [- 1; 2].

Маємо

значить функція зростає і тому досягає найбільшого значення на кінцях відрізку, тобто в точках

Відрізок LM має рівняння х = 2, -1≤ y≤ 1 . Підставивши х = 2 у за­дану функцію, одержимо

Маємо на відрізку _[-1;1]

Значить функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках

Відрізок РМ має рівняння

Підставивши

у задану функцію, одержимо тобто

Маємо

звідки z' = 0 при х = . Значить,на відрізку РМ функція може досягти найбільшого та найменшого зна­чень у точках

Відрізок КР має рівняння

Підставивши у задану функцію, одержимо z=-1 + y³ +3y

Маємо

значить, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях від­різка, тобто в точках

Таким чином, функція може досягти найбільшого та

найменшого значень тільки в наступних точках:

Знаходимо

Отже, z_min=-5, і це значення досягається в точці

z_max=75, і це значення досягається у точці

Зауваження : Теорема (про проміжне значення )

Нехай функція f(x;y) неперервна на зв’язній множині D і у двох точках А та В цієї множини приймає нерівні значення f(A)та f(B) . Тоді на цій множині вона приймає будь-яке значення μ, яке лежить між f(A)та f(B), тобто існує така точка с єD , що f(c)= μ.

Література:

1. П. П. Овчинников , Ф. П. Яремчук Вища математика

Київ “Техніка” 2003.

2. К. Г. Валєєв, І, А. Джалладова , О. І. Лютий Вища математика

Київ 1999.

3. В. М. Лейфура, Г. І. Городницький Математика

Київ “Техніка” 2003.

4. В. С. Шипачев Основы высшей математики

Москва “Высшая школа ”.