Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити: — аналітичнo (у вигляді формули), наприклад:

• таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

— графічно.

Для графічного зображення функції двох змінних необхідна система координат у тривимірному просторі (мал.1). Кожній парі чисел х та у відповідає точка площини . В точці прово- димо пряму перпендикулярну до площини , та відмічаємо на ній відповідне значення функ­ції z; дістаємо в просторі точку Q з координа­тами , яка позначається символом . Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, складають пе­вну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції .

Мал.1

Зауваження: На практиці побудувати гра­фік функції важко, адже йдеться про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається.

• Графічне зображення функції є площина, яка проходить

через точки , , (мал.2).

Мал.2 мал.3

Геометричне зображення функції є півкуля (мал.3).

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змін­них — зображення за допомогою ліній рівня.

Означення: Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень.

Рівняння ліній рівня записують у вигляді

Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на них функція, одержимо наближене уявлення про зміну функції. Елемента­рний приклад зображення функції за допомогою ліній рівня-зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями рівної висо­ти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної місцевості.

Приклад : Побудувати лінії рівня функції z = x²y

• Рівняння ліній рівня має вид або .

Покладаючи С = 0, ± 1,±2,..., одержимо сім'ю ліній рівня :

Знаходження області визначення функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.

Приклад 1: Знайти область визначення функції

та дати їй геометричну інтерпретацію.

• 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на коорди­натній площині, а саме: ;

3. Визначаємо за допомогою контроль­них точок , розташуван­ня D на площині і заштриховуємо її (мал.1).

Мал.1

Приклад 2: Знайти область визначення функції двох змінних та дати їй геометри чну інтерпретацію:

а) Функція невизначена, якщо х = у.

Геометрично це означає, що область визначення складається із двох напів-площин, одна з яких лежить вище, а друга — нижче від прямої у = х

(мал 1).

Мал .1 мал.2

в) Функція визначена, якщо ,

тобто (мал.2).

Границя функції двох змінних

Означення: Число В називається границею функції при

, , якщо для будь-якого існує число таке, що при

виконанні нерівності виконується нерівність

і позначається або

Зауваження: Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної

Приклад: Обчислити

• Використовуючи теореми про арифметичні операції над границя­ми, а також те, що границя постійної дорівнює цій постійній, тобто , маємо

Зауваження: Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато загального, але є й принципова відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво більш обмеже­ним, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Справа в наступному: якщо— функція однієї змін-

ної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границя дорівнює b. Вірно й обернене: з існування та збігу двох односторонніх границь слідує існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближатися до точки (х_0,у₀)

можна нескінченною множиною засобів: і справа, і зліва, і зверху, і знизу, і під кутом 30° до осі тощо