5.2. Приведение сил и масс в механизме

Для исследования закона движения механизма его удобно заменить одним условным звеном – звеном приведения, имеющим закон движения аналогичного звена реального механизма.

Все внешние силы, действующие на звенья при этом заменяются одной приведенной силой F_∑^пр или моментом М_∑^пр , мощности Р_∑^пр которых равны мощностям Р_i заменяемых сил F_i и моментов сил M_i, т.е.

Р_∑^пр=∑Р_i, где Р_i=F_i·V_i·cos(F_iV_i) или Р_i=М_i·ω_i;

Р_∑^пр=F_∑^пр·V·cos(F_∑^прV) или Р_∑^пр=М_∑^пр·ω.

Здесь V_i и V – скорости точек приложения соответствующих сил; ω_i и ω – угловые скорости i-го звена и звена приведения.

Суммарную приведенную силу или момент удобно записывать в виде составляющих, например: М_∑^пр=∑М_Fi^пр+∑М_Мi^пр, где каждая составляющая определяется из соответствующего равенства мощностей:

М_Fi^пр=F_i·V_i/ω·cos(F_iV_i) - для силы F_i;

М_Мi^пр=М_i·ω_i/ω - для момента М_i;

Пример кривошипно-ползунного механизма (рис.22): М_∑^пр=М_F^пр+M_G^пр,

где М_F^пр=F·V_C/ω₁=F·l_AB·рс/pb;

M_G^пр=G·V_S/ω₁·cos(G^{^}V_S)=G·l_AB·ps/pb.

Здесь pb, pc, ps^|=ps·cos(G^{^}V_S) – вектора, взятые с плана скоростей (рис.22).

Как видно из формул, величина F^пр (М^пр) зависит лишь от соотношения скоростей, а не от их абсолютной величины, что позволяет для приведения сил использовать планы скоростей без учета их масштабов. Каждое i-ое звено механизма обладает массой m_i и моментом инерции J_i относительно оси, проходящей через центр масс звена, при этом кинетическая энергия i-го звена плоского механизма равна:

T_i=(m_i·V_i²/2)+J_i·ω_i²/2.

Массы и моменты инерции всех звеньев механизма можно условно заменить некоторой массой m^пр, сосредоточенной в произвольно выбранной точке А звена приведения (рис.23, а) или некоторым моментом инерции J^пр, приписанным звену

Рис. 23 приведения (рис.23, б).

Замена должна производится из условия равенства кинетических энергий:

Т^пр=Т_мех=∑Т_i,

где Т^пр=m^пр·V_A²/2 или Т^пр=J^пр·ω²/2,

т.е. m^пр=∑[m_i·(V_i/V_A)²+J_i·(ω_i/V_A)²] – при поступательном движении звена приведения.

J^пр=∑[ m_i·(V_i/ω)²+J_i·(ω_i/ω)²] – при вращательном движении звена приведения.

m^пр и J^пр являются функциями положения звена приведения, т.е. их величина может меняться при изменении положения звена в процессе его движения.

5.3. Уравнение движения машины

Работу машины можно разбить на 3 периода:

1. период пуска (разгон);

2. период установившегося движения;

3. период остановки (выбега);

Аналитическая зависимость между действующими на звенья силами и кинематическими параметрами движения называется уравнением движения. Это уравнение в общем случае имеет вид ∆Т=А_д-А_с, где ∆Т=Т-Т₀ – изменение кинетической энергии за рассматриваемый промежуток времени (Т и Т₀ – величина кинетической энергии в конце и начале промежутка);

А_д-А_с – суммарная работа действующих сил за рассматриваемый промежуток (А_д, А_с – работа движущих сил и сил сопротивления).

В период пуска А_д-А_с=∆Т>0, т.е. происходит ускорение движения звеньев, являющегося неустановившемся.

В период установившегося движения А_д-А_с=∆Т=0, т.е. скорости звеньев в конечный и начальный моменты цикла равны и вся работа движущихся сил расходуется на преодоление сопротивлений.

В период остановки А_д-А_с=∆Т<0, движение продолжается некоторое время за счет накопленной кинетической энергии, поглощаемой за счет сопротивления движению.

Уравнение движения может быть выражено в интегральной и дифференциальной форме, а для упрощения его решения исследование машины заменяют исследованием звена приведения, в котором изменение кинетической энергии равно: ∆T^пр =А_д^пр-А_с^пр, где суммарная работа действующих на звено приведения сил может быть выражена:

а) в интегральной форме:

А_д^пр-А_с^пр=∫F_∑^прds или А_д^пр-А_с^пр=∫M_∑^прdφ;

б) в дифференциальной форме:

dT^пр=M_∑^прdφ или M_∑^пр=dT^пр/dφ;

т.е. при dT^пр=1/2·J^пр·ω² получим:

M_∑^пр=(dJ^пр/dφ)·(ω²/2)+J^пр·ω·(dω/dφ)·(dt/dt)=(dJ^пр/dφ)·(ω²/2)+ε·J^пр.

Таким образом, уравнение движения машины приводится к тому или иному конкретному виду и решается графическим и графоаналитическим методами, а учитываемые силы и моменты сил, а также приведенные массы и моменты инерции могут быть как постоянными так и переменными величинами, зависящими от того или иного фактора.