13.8. Анализ уравнения регрессии

Допустим, что в уравнении регрессии (13.4) все коэффициенты оказались значимыми, дисперсии в опытах однородны, а само уравнение удовлетворяет свойствам воспроизводимости и адекватности. Тогда по нему можно следующим образом трактовать искомую связь отклика у с факторами х₁, …, х_n.

Коэффициент b₀ представляет собой значение у при основном уровне факторов.

Степень влияния факторов определяется значением коэффициентов. Чем больше абсолютное значение коэффициента, тем больше влияние на параметр оптимизации оказывает соответствующий ему фактор.

Положительный знак какого-либо коэффициента В_j означает, что фактор, уровню которого он придан, оказывает прямое действие на отклик у, т.е. с увеличением фактора Х_j отклик у возрастает. При отрицательном знаке фактора оказывает обратное действие на у.

Коэффициенты В_ji при произведениях факторов, например В₁₂, характеризуют эффект взаимодействия этих факторов Х₁ и Х₂. Если коэффициент имеет положительный знак, увеличение уровней обоих факторов одновременно увеличивает отклик у. Для его уменьшения требуется один фактор увеличить, а другой в то же время уменьшить.

При отрицательном знаке одновременное увеличение уровней факторов приводит к уменьшению отклика у.

Коэффициенты В_jiк, при произведениях 3-х факторов, например В₁₂₃, при положительном знаке дают увеличение у, когда увеличивают уровни всех трёх факторов или когда уровень одного фактора увеличивается, а уровни 2-х других в то же время уменьшаются. Иными словами, характер влияния факторов и их взаимодействий определяется обычными алгебраическими операциями.

15. Построение моделей второго порядка

15.1. Оптимальность планов

При планировании эксперимента не известно, в какой части изучаемой поверхности отклика находится искомый оптимум и каков вид этой поверхности. Поэтому стремятся использовать в первую очередь такие планы, которые позволяют получить максимальную информацию в наихудшей возможной ситуации при сравнительно небольшом числе опытов. В связи с этим возникает необходимость в оценке оптимальности планов.

ПФЭ и ДФЭ наиболее эффективные при построении линейных моделей. Достоинством этих планов являются их свойства:

• ортогональность;

• симметричность относительно центра;

• нормировка;

• ротатабельность.

При выполнении условий 1-3 коэффициенты уравнения регрессии оцениваются с минимальной дисперсией. В случае ортогональности и ротатабельности плана дисперсии для коэффициентов регрессии не только минимальны, но и равны одна другой, что облегчает статистический анализ результатов эксперимента. Одновременно ортогональными и ротатабельными могут быть только планы первой степени. При построении моделей второго порядка оценка оптимальности планов заметно усложняется. Становится необходимым учёт многих критериев. Так, Д. Киффер, развивающий концепцию Д-оптимальности, считает, что эффективность оценок определяется не только оптимальным способом обработки результатов эксперимента, но и оптимальным расположением экспериментальных точек в факторном пространстве. Кроме этого предлагается учитывать такие характеристики, как максимальная величина дисперсии предсказанных значений критерия оптимизации; объем эллипсоида рассеяния оценок параметров и др.

На практике трудно найти план, который одновременно удовлетворяет нескольким критериям оптимальности. Поэтому в каждом отдельном случае рекомендуется сначала выбрать те критерии оптимальности, которые предпочтительнее в рассматриваемых условиях, а затем выбрать план, который является наиболее целесообразным.

Известны различные виды Д-оптимальных планов, построенных на шаре, кубе и т.д. Однако такие планы не всегда являются приемлемыми (например, для планов, построенных на кубе, необходимо большое число экспериментальных точек). Отсюда и стремление использовать планы, близкие по свойствам к Д-оптимальным. К планам подобного рода относятся планы Хартли и В_k, имеющие меньшее число опытов.

В табл. 15.1 показано общее число опытов  для различных планов второго порядка при различном числе факторов k.

Из приведённых данных видно, что с учётом числа опытов наиболее экономичными являются планы Хартли, кроме того заслуживают внимания ортогональные и ротатабельные планы.

Известны данные сравнительной оценки различных планов второго порядка при k = 28, учитывающей различные критерии оптимальности. Зная эти данные, можно выбрать наиболее рациональные планы для различных ситуаций.

Таблица 15.1

Характеристика планов второго порядка

Число факторов (к)	число опытов в плане (N)					Число коэффициентов модели
	Ортогональном	Ротатабельном	Хартли	Кифера (на кубе)	Коно
2	9	13	7	9	9	6
3	15	20	11	26	21	10
4	25	31	17	72	49	15
5	27*	32*	27*	192	113(88*)	21
6	45	53	29*	-	257	28
7	79	92	47	-	577	36

* с полурепликой.

При к =2 целесообразно применять план Хартли. Иногда имеет смысл использовать план Коно и ротатабельный Бокса, если не лимитируется число опытов.

При к = 3 предпочтение рекомендуется отдавать ротатабельному плану Бокса. Но если число опытов должно быть минимальным, то можно использовать план Хартли.

При к = 4 первоочередного внимания заслуживает план В₄, который требует всего 24 опыта. Не столь эффективен план Бокса, однако его характеристики лучше по сравнению с характеристиками ортогонального плана. Имеет смысл также применять план Хартли.

При к = 5 целесообразно использовать в первую очередь план Хартли, также заслуживает внимания ротатабельный план Бокса.

Сравнение ротатабельных планов с Д-оптимальными и другими планами показало, что ротатабельные планы уместно применять в тех случаях, когда границы области эксперимента рационально задавать шаром, т.е. когда интересует описание поверхности отклика преимущественно вблизи центра эксперимента.

Недостатки ротатабельных планов заключаются в том, что экспериментальные точки не попадают в углы куба, а выбираются на поверхности шара, вписанного в куб. В связи с этим углы куба остаются неиспользованными, что иногда существенно отражается на точности модели. С увеличением числа факторов объём неиспользованных углов куба возрастает, поэтому эти планы не рекомендуется использовать при к5. Наиболее эффективны они при к = 3 и при решении задач, связанных с поиском оптимума.