Лабораторная работа №2 Исследование характеристик типовых динамических звеньев

Цель работы. Ознакомление с принципами построения, классификацией и способами математического исследования типовых динамических звеньев систем автоматического управления, изучение способов формирования требуемых амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) усилителей, экспериментальные исследования АЧХ и фазо-частотных характеристик (ФЧХ) типовых динамических звеньев с помощью машинного моделирования.

1. Основные теоретические положения

1.1. Классификация звеньев

Замкнутые автоматические системы часто содержат в своем составе сложные динамические звенья, описываемые дифференциальными уравнениями высокого порядка. С одной стороны, иногда сами элементы системы управления представляют собой сложное динамическое звено, с другой стороны, иногда в систему вводятся с целью корректировки динамические звенья с известной передаточной характеристикой.

Для обеспечения анализа систем управления сложные звенья разбиваются на более простые, элементарные, описываемые уравнениями не выше второго порядка:

,

где ; х₁(t) – входное воздействие; х₂(t) – выходное воздействие.

Автоматические системы, описываемые подобным уравнением, имеют передаточную функцию вида:

,

где р = jω.

Именно такие звенья называют типовыми. При обращении в нуль тех или иных коэффициентов будет изменяться вид уравнения и передаточной функции, что приводит к изменению динамических свойств звеньев. Таким образом, все динамические звенья могут быть классифицированы по виду их дифференциальных уравнений или, что то же самое, по виду их передаточных функций. Поэтому все устройства, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями, относятся, независимо от их назначения, конструкции, принципа действия и т.д., к одной и той же классификационной группе динамических звеньев.

1.2. Апериодическое звено первого порядка

Апериодическим звеном первого порядка называют звено, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка:

(1+рТ) х₂ (t) = k x₂ (t).

где Т – постоянная времени звена; k – коэффициент передачи звена.

К апериодическим звеньям относятся многие элементы радиоэлектронных систем управления – исполнительные двигатели, усилители мощности и т.д. Например, зависимость скорости вращения υ_Д якоря исполнительного двигателя от управляющего напряжения U_У описывается уравнением

(1+рТ_Д) υ_Д (p) = k_Д U_У.

Рис. 2.1. Интегратор на ОУ

Уравнением аналогично вида описывается процесс в RC-фильтре нижних частот:

(1+рТ_Ф) U_ВХ (p) = U_ВЫХ(p).

Передаточная функция ОУ, охваченного отрицательной обратной связью через RC-цепь (рис. 2.1) имеет вид:

,

где К_О – коэффициент усиления ОУ на постоянном токе; Т = К_ОRC – постоянная времени интегратора.

Модуль передаточной функции А(ω) или АЧХ:

где - сопрягающая частота апериодического звена.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) этого звена:

Из выражения для АЧХ можно получить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):

Выражение для АЧХ схемы рис. 2.1 получено в предположении, что К_О не зависит от частоты, или, по крайней мере, собственная сопрягающая частота усилителя , т.е. на частоте ω_У коэффициент передачи апериодического звена А(ω_У)≤1. Если это условие не выполняется, необходимо представить К_О = f(ω), в результате чего математическое описание схемы будет соответствовать звену более высокого порядка.

В тех случаях, когда необходимо иметь передаточную функцию со вполне определенным (масштабным) коэффициентом передачи, используют корректирующее звено, приведенное на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Апериодическое звено первого порядка

В том случае, если коэффициент передачи разомкнутого ОУ К_О ≥ 1, точнее, если выполняется условие , передаточную функцию звена (рис. 2.2) можно представить как

,

где , Т = R₂C.

Модуль передаточной функции

где - сопрягающая частота.

Фазо-частотная характеристика

Логарифмическая АЧХ:

1.3. Дифференцирующее звено

Идеальным дифференцирующим звеном называют звено, выходная величина которого пропорциональна производной входной величины, т.е.

или

Передаточная функция звена

,

где k – коэффициент передачи звена, имеющий размерность [t].

Единственным примером идеального дифференцирующего звена является тахогенератор.

Реальные дифференцирующие устройства не являются идеальными, а принадлежат к числу инерционных дифференцирующих звеньев (рис. 2.3).

Передаточная функция схемы (рис. 2.3.а) имеет вид

.

Модуль АХЧ

,

где .

Рис. 2.3. Инерционные дифференцирующие звенья

Фазо-частотная характеристика звена (рис. 2.3а):

.

Для схемы рис. 2.3б передаточная функция, при условии, что , имеет вид:

,

где Т=C₁R₂; T₁=C₁R₁.

Модуль передаточной функции

,

где ω_О = 1/Т = 1/C₁R₂; ω₁ = 1/C₁R₁.

Фазо-частотная характеристика

В задачах коррекции динамических характеристик автоматических систем важную роль играет форсирующее звено, представляющее собой параллельное соединение безинерционного и дифференцирующего звеньев. Передаточная характеристика форсирующего звена может быть представлена как

W(p) = W₁(p)+W₂(p),

где W₁(p) = К₁ – передаточная характеристика безинерционного звена; W₂(p) - передаточная характеристика дифференцирующего звена, выполненного, например, по схеме рис. 2.3б.

Тогда

W(p) = К₁(1+рТ),

где Т = Т₁+Т₂/К₂; Т₁ = CR₁; Т₂ = CR₂; K₁ = R₂/R₁.

Такую передаточную функцию имеет схема, приведенная на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Форсирующее звено

2.4. Колебательное звено

Передаточную характеристику схемы, приведенной на рис. 2.5 можно представить в виде:

,

где W₁(p), W₂(p) – передаточные характеристики первого и второго усилителей соответственно; W₃(p) = R₅/(R₄+R₅) – передаточная функция звена обратной связи, не зависящая от частоты.

Рис. 2.5. Колебательное звено

Результирующая передаточная функция такого звена

,

где ; - показатель колебательности или коэффициент затухания; T₁ = R₁C₁K_O; T₂ = R₂C₂; K₁ = R₂/R₃; k = R₅/(R₄+R₅).

Показатель колебательности практически полностью характеризует свойство системы. Если ξ = 0 – имеем характеристику передачи с резко выраженными резонансными свойствами. Обычно 0 < ξ < 1, в случае чего колебания в системе затухают. При ξ > 1, колебания в системе отсутствуют, звено апериодическое (второго порядка).

Модуль амплитудно-частотной характеристики колебательного звена

,

где ω₀ = 1/Т – собственная частота незатухающих колебаний.

Фазо-частотная характеристика

.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена

3. Порядок выполнения работ

3.1. Снятие АЧХ и ФЧХ звеньев

3.1.1. Собрать схему, приведенную на рис. 2.1. Номиналы элементов задать по расчетам домашнего задания. При расчетах считать К_О = 10⁵, частоту единичного усиления ОУ f₁ принять равной 1 МГц.

Указание. В качестве ОУ использовать макромодель К140УD7 или А741, в зависимости от того, какая макромодель находится в используемой Вами библиотеке.

3.1.2. Вывести на экран дисплея графики ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой и разомкнутой системы, выбрав соответствующий расчетам масштаб графиков. Вывести результаты на печать или сохранить в виде рисунка типа *.bmp. Сравнить полученные результаты с расчетными, сделать вывод об устойчивости усилителя, охваченного обратной связью.

Указание. Передаточную функцию разомкнутой системы можно получить, выводя на график трассу DB(V(out)) - DB(V(in)), что соответствует двадцати десятичным логарифмам отношения напряжения в выходном узле к напряжению на узле подключения инвертирующего входа операционного усилителя.

3.1.3. Провести аналогичное моделирование для схемы рис. 2.2  2.4. Сравнить полученные результаты с расчетными. Сделать вывод об устойчивости звена.

3.1.4. Собрать схему, приведенную на рис. 2.5. Выбрать номиналы элементов R, C, исходя из условий 1<ξ<10; 0<ζ<1; ξ ≈ 0,02.

3.1.5. Для каждого случая снять ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой и замкнутой системы. Сравнить полученные результаты с расчетными (сравнить частоты сопряжения). Сделать вывод об устойчивости схемы.

Указание. Передаточную функцию разомкнутой системы можно получить, выводя на график трассу DB(V(out)) – DB(V(in,n_in)), что соответствует двадцати десятичным логарифмам отношения напряжения в выходном узле к разности напряжений между узлами подключения инвертирующего и неинвертирующего входов операционного усилителя DA1 (рис. 2.5)

4. Содержание отчета

Отчет оформляется в виде журнала лабораторных работ. Отчет должен содержать:

- название и цель работы;

- схемы выполненных экспериментов;

- таблицы и графики экспериментальных зависимостей;

- расчеты формул и результаты расчетов;

- сопоставление расчетных и экспериментальных зависимостей;

- выводы по результатам работы.

5. Контрольные вопросы

1. Какие элементарные динамические звенья Вам известны?

2. Объясните сущность метода анализа систем автоматического регулирования по ЛАЧХ и ФЧХ.

3. Какая система называется минимально-фазовой?

4. Приведите примеры, какие элементы радиоэлектронных систем управления относятся к апериодическим звеньям?

5. Каким образом коэффициент затухания характеризует поведение замкнутой системы автоматического регулирования?

6. Что называется запасом устойчивости?