2.3. Вероятность безотказной работы
Вероятность безотказной работы (ВБОР) - это вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не наступит.
(2.4.)
В случае, когда
или
имеет место отказ объектов. Следовательно,
вероятность отказа:
(2.5.)
Оба события:
- объект работоспособен и
- отказ объекта - являются противоположными,
следовательно:
(2.6.)
Нахождение обеих вероятностей через функцию F(t) не сложно:
q(t)=Вер.[T t]=F(t) (2.7.)
P(t)=Вер.[T > t]=1-F(t) (2.8.)
Учитывая выражения (2.2), (2.7), (2.8), можно записать:
(2.9.)
С другой стороны, учитывая выражение (2.3.), получаем формулы вероятности отказа и ВБОР:
,
(2.10.)
(2.11.)
Рис.2.1. Графики функций P(t) и q(t).
Рис.2.2. Определение P(t) по графику функции f(t).
График функции ВБОР, приведенный на рис. 2.1., показывает, что p(t)- убывающая функция. Т.о., для определения ВБОР p(t) в интервале нароботки (0, t) необходимо по формуле (2.8.) из единицы вычесть значение фуекции F(t) либо определить площадь под кривой (t) в пределах от t до t = . Вероятность отказа q(t) находим по формуле (2.7.) либо как площадь под кривой (t) в пределах от 0 до t.
Основные свойства показателя безотказности - ВБОР:
P(t) есть расчетная величина вероятности работоспособного состояния объекта в интервале наработки (0, t), т.е. априорная величина, определяемая до начала эксплуатации.
P(t) есть убывающая функция, а q(t) возрастающая функция.
P(t) рассчитывается через вероятностные функции F(t) или f(t)
2.4. Условная ВБОР в интервале наработки (t, t+), следующим за
Интервалом (0, t) безотказной работы.
Обозначим символом А событие, заключающееся в том, что в интервале (0, t) отказ не наступит:
а символом В событие, заключающееся в том, что отказ наступит где-то во всем интервале наработки (0, t+),
Рис. 2.3. Диаграмма наступления первого отказа в интервале (t, t+)
Событие, заключающееся в том, что отказ не наступит в интервале (0, t), а наступит после момента t и именно в интервале (t, t+) определяется, как произведение (пересечение) событий А и В, т.е. совместное появление событий А и В:
По теореме умножения вероятностей вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятностей одного из них (безусловного) на условную вероятность другого, найденную при условии, что первое событие наступило:
(2.12.)
где: Вер(А) – безусловная вероятность события А – отказ до момента t не наступил, т.е. ВБОР в момент t:
(2.13.)
- условная
вероятность события В
при условии, что событие А
произошло: вероятность отказа в интервале
(t,
t+)
при условии, что до момента t
отказа не было.
(2.14.)
Т.к.
Вер(А)
найдена согласно (2.13.), нужно определить
и тогда получим выражение q(t,
t+),
после чего найдем искомую ВБОР в интервале
(t,
t+),
следующим за интервалом безотказности
(0, t).
В свою очередь:
или
(2.15.)
(2.16.)
Т.е. это вероятность попадания случайной величины в интервал наработки (t, t+). Известно, что эта вероятность в свою очередь равна разности функций распределения вероятностей в моменты (t+) и t.
Учитывая формулы (2.7) и (2.16), можно записать в виде:
(2.17.)
Таким образом, условная вероятность первого отказа в интервале (t, t+), следующим за интервалом безотказности (0, t) равна
(2.18)
Искомая условная ВБОР в интервале (t, t+), следующем за интервалом безотказности (0, t), P(t, t+) = 1- q(t, t+), равна:
(2.19)
Таким образом, ВБОР в интервале (t, t+), следующим за интервалом безотказности (0; t), есть условная вероятность события, противоположному событию В при ранее разобранном выше условии и определяется как отношение ВБОР в конце искомого интервала (t+) и ВБОР в начале интервала. Это справедливо для любых функций распределения F(t), т.е. является общим теоретическим изложением. Условно ВБОР в интервале (t; t+), следующим за интервалом безотказности (0; t), сравним с безусловной ВБОР в интервале (t; t+). Основной смысл условной ВБОР- какова вероятность того, что объект безотказно проработавший в интервале (0; t), проработает безотказно ещё и в интервале (t; t+). Эта вероятность определяется выражением (2.19). Безусловная вероятность отказа в интервале (t; t+) - это вероятность произведения (пересечения) событий А и В и определяется формулами (2.15)-(2.17), следовательно безусловная ВБОР в интервале (t; t+) определяется как:
(2.20)
Если безусловная вероятность отказа в интервале (t; t+) есть вероятность того, что наработка до отказа Т попадает в указанный интервал и определяется по формулам (2.16) и (2.17), то условная вероятность отказа в этом интервале учитывает, что объект должен обязательно проработать в интервале (0; t) и определяется формулой (2.16). Ясно, что условная вероятность отказа больше, чем безусловная, т.к. P(t) в знаменателе формулы (2.18) меньше единицы, следовательно условная ВБОР P(t+) будет меньше, чем безусловная P*(t+), а это значит, что налагаемое условие - безотказная работа в интервале (0; t) - делает меньшими шансы иметь объект работоспособным в интервале (t ;t+), чем в случае, когда этого условия нет.