- •3. Расчет показателей безотказности невосстанавливаемых объектов для различных законов распределения
- •3.1. Показатели безотказности для экспоненциального распределения
- •3.2. Показатели безотказности для равномерного распределения
- •3.3. Показатели безотказности для усеченного нормального распределения
- •3.4. Показатели безотказности для распределения Вейбулла
3. Расчет показателей безотказности невосстанавливаемых объектов для различных законов распределения
Априорный расчет показателей безотказности имеет целью определение точечных показателей безотказности по известным вероятностным характеристикам - известным законам распределения и числовым характеристикам этих функций. Этот расчет показывает, какие значения ВБОР, интенсивности отказов следует ожидать у объектов данного типа через наперед заданную наработку, каково ожидаемое значение средней наработки до отказа. Априорный расчет характеризует объект данного типа, а не конкретный экземпляр объекта.
3.1. Показатели безотказности для экспоненциального распределения
Экспоненциальным (показательным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т, которое описывается плотностью:
(3.1.)
где: -постоянная положительная величина (параметр распределения)
Функцию надежности (т. е. Функции ВБОР) определим через функцию распределения вероятностей F(t) по формуле:
Тогда: (3.2.)
(3.3.)
Интенсивность отказов найдем с помощью формулы:
Среднюю наработку до отказа и дисперсию наработки до отказа определим по формулам:
(3.4.)
(3.5.)
Среднеквадратическое отклонение
Табл. 3.1.
Формулы показателей безотказности |
|||||
Показатель |
p (t) |
q (t) |
(t) |
T0 |
D[t] |
Формула |
e-t |
1-e-t |
|
1/ |
1/2 |
Рис. 3.1
Экспоненциальное распределение нашло широкое применение на практике по следующим причинам:
простота расчетов показателей безотказности;
распределение типично для радиотехнических систем, состоящих из многих элементов с разными распределениями наработки до отказа;
в случае ограниченного объема экспериментальных данных об отказах, когда трудно обнаружить отклонение от гипотезы =const.
3.2. Показатели безотказности для равномерного распределения
Функция плотности распределения определяется выражением:
Определим величину плотности из отношения:
Функция плотности распределения:
Функция распределения есть прямая линия, проходящая через начало системы координат с углом, тангенс которого равен 1/b.
Интенсивность отказов определим по формуле при
Равномерное распределение в интервале наработки (0, b) означает, что к моменту b все объекты окажутся неработоспособными, поэтому теоретически .
Среднюю наработку до отказа и дисперсию наработки до отказа найдем по формулам:
Таблица. 3.2.
Формулы показателей безотказности для интервала (0, b) |
||||||
Показатель |
P(t) |
q(t) |
(t) |
T0 |
D[T] |
t |
Ф ормула |
|
|
|
|
|
|
Р ис. 3.2. Графики показателей безотказности равномерного распределения.
Особенности равномерного распределения заключаются в том, что в начале интервала при t=0 число отказавших объектов равно нулю, (как для любого распределения), в конце интервала при t=b число отказавших равно N. А число отказавших объектов к моменту t равно:
n(t) = q(t)N = (t /b)N,
Это значит, что число отказавших объектов подчиняется закону прямой линии и равномерно увеличивается со скоростью, равной N / b = tg N.
Для равномерного распределения при t = T0, P(T0) = q(T0) = 0,5. Для сравнения этого распределения с экспоненциальным, для которого P(0,7T0) = 0,5 функция надежности экспоненциального распределения падает быстрее, чем для равномерного, при одинаковых T0 и при (т. е. при наработках, не превышающих T0).